Question

एक ग्रह किसी तारे के केन्द्र के परितः, पूर्ण रूप से तारे के गुरुत्वीय प्रभाव के अधीन हो कर, आवर्तकाल \(T\) वाले वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहा है। कल्पना करें कि तारे एवं ग्रह के बीच की दूरी आधी हो जाती है। साथ ही तारे एवं ग्रह की निजी त्रिज्याएँ भी इस तरह से आधी कर दी जाती हैं कि उनके निजी घनत्व (जो कि एकसमान रूप से वितरित हैं) अपरिवर्तित रहते हैं। इस स्थिति में ग्रह के नए कक्ष का आवर्तकाल क्या होगा?

• A. \(T\)
• B. \(2T\)
• C. \(\frac{T}{2}\)
• D. \(\frac{T}{4}\)

Hint:

यदि कक्षीय त्रिज्या और केंद्रीय पिंड की वास्तविक त्रिज्या दोनों को समान अनुपात में बदला जाए और घनत्व नियत रहे, तो आवर्तकाल हमेशा अपरिवर्तित रहता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न गुरुत्वाकर्षण और ग्रहों की कक्षीय गति पर आधारित है।
हमें यह देखना है कि तारे के द्रव्यमान में परिवर्तन (त्रिज्या आधी होने और घनत्व नियत रहने के कारण) और कक्षीय त्रिज्या आधी होने पर आवर्तकाल पर क्या प्रभाव पड़ता है।

Step 2: Key Formula or Approach:
कक्षीय आवर्तकाल का सूत्र: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}\)
द्रव्यमान और घनत्व का संबंध: \(M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3}\pi r_s^3 \rho\)

Step 3: Detailed Explanation:

• प्रारंभिक स्थिति:
माना तारे का द्रव्यमान \(M\), कक्षीय त्रिज्या \(R\) और तारा का घनत्व \(\rho\) है।
आवर्तकाल:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \]

• परिवर्तित स्थिति में गणना:
तारे की त्रिज्या आधी हो जाती है (\(r'_s = r_s / 2\)) जबकि घनत्व \(\rho\) अपरिवर्तित रहता है।
नया द्रव्यमान \(M'\):
\[ M' = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{r_s}{2}\right)^3 \rho = \frac{1}{8} \left( \frac{4}{3}\pi r_s^3 \rho \right) = \frac{M}{8} \]
कक्षीय त्रिज्या भी आधी हो जाती है (\(R' = R/2\))।

• नया आवर्तकाल \(T'\):
\[ T' = 2\pi\sqrt{\frac{(R')^3}{GM'}} \]
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\[ T' = 2\pi\sqrt{\frac{\left(\frac{R}{2}\right)^3}{G\left(\frac{M}{8}\right)}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{R^3}{8}}{G\frac{M}{8}}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} = T \]

इससे स्पष्ट है कि नए कक्ष का आवर्तकाल अपरिवर्तित रहता है।