Question

किसी समय \(t\) पर द्रव्यमान 1 kg वाले एक पिण्ड की स्थिति \(\mathbf{r} = t \hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}} + 2 t^2 \hat{\mathbf{k}}\) से निरूपित की जाती है, जहां \(t\) सेकंडों में दिया गया है और प्रत्येक गुणांक अपनी उचित इकाइयों में इस तरह से दिये गये हैं कि \(\mathbf{r}\) मीटर की इकाई में निरूपित हो सके। केन्द्र के सापेक्ष मापे गये पिण्ड के कोणीय संवेग का घटक, सदिश \((\hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}})\) के अनुदिश, \(\text{kg m}^2\text{s}^{-1}\) की मापन इकाई में कितना होगा?

• A. \(\frac{1}{\sqrt{2}}(4t - 2t^2)\)
• B. \(\frac{1}{\sqrt{2}}(4t + 6t^2)\)
• C. \(4t - 2t^2\)
• D. \(4t + 6t^2\)

Hint:

हमेशा याद रखें कि किसी भी घटक को ज्ञात करने से पहले लक्ष्य सदिश को इकाई सदिश (Unit Vector) में परिवर्तित करना अनिवार्य है, अन्यथा परिमाण गलत प्राप्त होगा।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न घूर्णी गति (Rotational Motion) के अंतर्गत कोणीय संवेग (Angular Momentum) की गणना और उसके किसी विशेष दिशा में घटक (Component) को ज्ञात करने पर आधारित है।

Step 2: Key Formula or Approach:
वेग: \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
कोणीय संवेग: \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})\)
किसी सदिश \(\vec{u}\) के अनुदिश घटक: \(L_u = \vec{L} \cdot \hat{u}\) (जहाँ \(\hat{u}\) उस दिशा का इकाई सदिश है)।

Step 3: Detailed Explanation:

• वेग की गणना:
स्थिति सदिश \(\vec{r} = t\hat{i} + \hat{j} + 2t^2\hat{k}\)
अवकलन करने पर:
\[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \hat{i} + 0\hat{j} + 4t\hat{k} = \hat{i} + 4t\hat{k} \]

• कोणीय संवेग \(\vec{L}\) की गणना:
द्रव्यमान \(m = 1\text{ kg}\) है।
\[ \vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ t & 1 & 2t^2 \\ 1 & 0 & 4t \end{pmatrix} \]
\[ \vec{L} = \hat{i}(4t - 0) - \hat{j}(4t^2 - 2t^2) + \hat{k}(0 - 1) \]
\[ \vec{L} = 4t\hat{i} - 2t^2\hat{j} - \hat{k} \]

• \((\hat{i} + \hat{j})\) की दिशा में घटक की गणना:
दिशा का इकाई सदिश:
\[ \hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{|\hat{i} + \hat{j}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \]
कोणीय संवेग का घटक:
\[ L_u = \vec{L} \cdot \hat{u} = (4t\hat{i} - 2t^2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \left(\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}\right) \]
\[ L_u = \frac{4t(1) - 2t^2(1)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(4t - 2t^2) \]

अतः घटक का मान \(\frac{1}{\sqrt{2}}(4t - 2t^2)\) है।