Question

एक अनूठी गोलाकार जेलीफिश का आयतन गुणांक \(B\) है। जब जेलीफिश समुद्र की ऊपरी सतह (गहराई \(d = 0\)) पर हो तो उसकी त्रिज्या \(R\) है। समुद्र के भीतर \(d\) (\(d \gg R\)) की गहराई पर जाने पर उसकी त्रिज्या \(\Delta R > 0\) से सिकुड़ जाती है। यदि असम्पीड्य समुद्री जल का घनत्व \(\rho\) हो, एकसमान गुरुत्वीय त्वरण \(g\) हो और \(\rho gd \ll B\), तो \(\frac{\Delta R}{R}\) का मान क्या होगा?

• A. \(\left[ 1 - \left( 1 - \frac{\rho gd}{B} \right)^{1/3} \right]\)
• B. \(\left[ 1 - \left( 1 - \frac{\rho gd}{B} \right)^{2/3} \right]\)
• C. \(\left[ \left( 1 + \frac{\rho gd}{B} \right)^{2/3} - 1 \right]\)
• D. \(\left[ \left( 1 + \frac{\rho gd}{B} \right)^{1/3} - 1 \right]\)

Hint:

जब परिवर्तन बहुत छोटा हो (\(\rho gd \ll B\)), तब द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग करके सीधे \(\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta R}{R}\) का संबंध भी प्राप्त किया जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न द्रवों के दाब और पदार्थों के यांत्रिक गुणों (Bulk Modulus) पर आधारित है।
जैसे-जैसे जेलीफिश समुद्र की गहराई में जाती है, हाइड्रोस्टेटिक दाब बढ़ने के कारण उसका आयतन और त्रिज्या दोनों घट जाते हैं।

Step 2: Key Formula or Approach:
आयतन गुणांक (Bulk Modulus): \(B = -V \frac{dP}{dV} \implies \frac{dV}{V} = -\frac{dP}{B}\)
गहराई \(d\) पर दाब में वृद्धि: \(dP = \rho g d\)
गोलाकार वस्तु का आयतन: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)

Step 3: Detailed Explanation:

• आयतन परिवर्तन की गणना:
माना समुद्र की सतह पर आयतन \(V_0 = \frac{4}{3}\pi R^3\) है।
गहराई \(d\) पर दाब में परिवर्तन \(\Delta P = \rho g d\) है।
आयतन गुणांक की परिभाषा से:
\[ \ln\left(\frac{V}{V_0}\right) = -\frac{\rho gd}{B} \implies V = V_0 e^{-\frac{\rho gd}{B}} \]
चूँकि \(\rho gd \ll B\), हम प्रथम कोटि के सन्निकटन (first-order approximation) का उपयोग कर सकते हैं:
\[ V = V_0 \left(1 - \frac{\rho gd}{B}\right) \]

• त्रिज्या परिवर्तन से संबंध:
गहराई \(d\) पर नई त्रिज्या \(R' = R - \Delta R\) होगी।
नया आयतन:
\[ V = \frac{4}{3}\pi (R - \Delta R)^3 \]
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\[ \frac{4}{3}\pi (R - \Delta R)^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{\rho gd}{B}\right) \]
\[ \left( \frac{R - \Delta R}{R} \right)^3 = 1 - \frac{\rho gd}{B} \]
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
\[ 1 - \frac{\Delta R}{R} = \left(1 - \frac{\rho gd}{B}\right)^{1/3} \]
\[ \frac{\Delta R}{R} = 1 - \left(1 - \frac{\rho gd}{B}\right)^{1/3} \]

अतः जेलीफिश की त्रिज्या में भिन्नात्मक परिवर्तन का मान विकल्प (A) के अनुरूप प्राप्त होता है।