Question

क्षमताओं \(\eta_1\) एवं \(\eta_2\) वाले दो कार्नो इंजनों का विचार करें। पहला इंजन एक ऊष्मा भण्डार \(A\) से ऊष्मा \(Q_1\) ले कर एक ऊष्मा भण्डार \(B\) में ऊष्मा \(Q_2\) निर्गत करता है। दूसरा इंजन \(B\) से ऊष्मा \(Q_2\) लेता है और एक ऊष्मा भण्डार \(C\) में ऊष्मा \(Q_3\) निर्गत करता है। यदि \(Q_1 > Q_2 > Q_3\) हों, तो कार्नो इंजनों के इस युग्म की कुल क्षमता क्या होगी?

• A. \(\eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\)
• B. \(\eta_1 + \eta_2 + \eta_1\eta_2\)
• C. \(\eta_1\eta_2\)
• D. \(\eta_1 + \eta_2\)

Hint:

श्रेणीक्रम में जुड़े दो इंजनों की संयुक्त दक्षता हमेशा व्यक्तिगत दक्षताओं के योग से कुछ कम होती है। सूत्र \(\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\) को सीधे याद रखा जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न ऊष्मागतिकी (Thermodynamics) के अंतर्गत कार्नो इंजन (Carnot Engine) की दक्षता (Efficiency) और इंजनों के श्रेणीक्रम संयोजन (Series Combination) पर आधारित है।

Step 2: Key Formula or Approach:
इंजन की दक्षता: \(\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}\)
दो इंजनों के संयोजन की कुल दक्षता: \(\eta_{net} = 1 - \frac{Q_3}{Q_1}\)

Step 3: Detailed Explanation:

• प्रथम इंजन के लिए:
यह इंजन ऊष्मा \(Q_1\) लेता है और \(Q_2\) निर्गत करता है।
दक्षता:
\[ \eta_1 = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \implies \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \eta_1 \]

• द्वितीय इंजन के लिए:
यह इंजन ऊष्मा \(Q_2\) लेता है और \(Q_3\) निर्गत करता है।
दक्षता:
\[ \eta_2 = 1 - \frac{Q_3}{Q_2} \implies \frac{Q_3}{Q_2} = 1 - \eta_2 \]

• कुल दक्षता की गणना:
पूरे तंत्र के लिए कुल दक्षता:
\[ \eta_{net} = 1 - \frac{Q_3}{Q_1} \]
हम लिख सकते हैं:
\[ \frac{Q_3}{Q_1} = \frac{Q_3}{Q_2} \times \frac{Q_2}{Q_1} \]
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\[ \frac{Q_3}{Q_1} = (1 - \eta_2)(1 - \eta_1) = 1 - \eta_1 - \eta_2 + \eta_1\eta_2 \]
अब कुल दक्षता के सूत्र में मान रखने पर:
\[ \eta_{net} = 1 - \left( 1 - \eta_1 - \eta_2 + \eta_1\eta_2 \right) \]
\[ \eta_{net} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2 \]

अतः, पूरे युग्म की कुल दक्षता \(\eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\) होगी।