Question

एक कण का त्वरण निम्नलिखित समीकरण से व्यक्त होता है: \[ \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \alpha \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7} + \beta \frac{d\mathbf{x}}{dt} \] जहां \(\mathbf{x}\) स्थिति और \(t\) समय को दर्शाते हैं। निम्न में से कौन से सम्बन्ध \(\alpha\) और \(\beta\) की सही विमाएं दर्शाते हैं?

• A. \([\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^{-1}]\)
• B. \([\alpha] = [M^1 L^6 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^{-3}]\)
• C. \([\alpha] = [M^0 L^6 T^{-1}], [\beta] = [M^0 L^1 T^{-2}]\)
• D. \([\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}], [\beta] = [M^0 L^0 T^0]\)

Hint:

विमीय विश्लेषण में केवल समान विमाओं वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। समीकरण के दोनों ओर के प्रत्येक स्वतंत्र पद की विमा हमेशा समान होती है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न विमीय विश्लेषण (Dimensional Analysis) और विमीय समांगता के सिद्धांत (Principle of Dimensional Homogeneity) पर आधारित है।
समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।

Step 2: Key Formula or Approach:
बाईं ओर का पद त्वरण \(\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}\) है, जिसकी विमा \([L T^{-2}]\) होती है।
विमीय समांगता के नियम से:
\[ \left[ \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} \right] = \left[ \alpha \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^7} \right] = \left[ \beta \frac{d\mathbf{x}}{dt} \right] \]

Step 3: Detailed Explanation:

• \(\alpha\) की विमा ज्ञात करना:
हम जानते हैं कि \([\mathbf{x}] = [L]\) और \([|\mathbf{x}|^7] = [L^7]\) है।
पहले पद की तुलना करने पर:
\[ [L T^{-2}] = [\alpha] \frac{[L]}{[L^7]} \]
\[ [L T^{-2}] = [\alpha] [L^{-6}] \]
\[ [\alpha] = [L T^{-2}] [L^6] = [L^7 T^{-2}] \]
द्रव्यमान के पद में लिखने पर: \([\alpha] = [M^0 L^7 T^{-2}]\)

• \(\beta\) की विमा ज्ञात करना:
हम जानते हैं कि वेग \(\left[\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right] = [L T^{-1}]\) है।
दूसरे पद की तुलना करने पर:
\[ [L T^{-2}] = [\beta] [L T^{-1}] \]
\[ [\beta] = \frac{[L T^{-2}]}{[L T^{-1}]} = [T^{-1}] \]
द्रव्यमान और लंबाई के पद में लिखने पर: \([\beta] = [M^0 L^0 T^{-1}]\)

अतः विकल्प (A) सही विमाओं को दर्शाता है।