यदि p(x) एक ऐसा द्विघातीय बहुपद है जिसके लिए p(1) = p(−1) = 0 है, तो p(x) में x का गुणांक क्या है?
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जब भी किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) एक-दूसरे के ऋणात्मक हों (\(\alpha = -\beta\)), तो मूलों का योग (\(\alpha + \beta\)) शून्य होता है।
चूंकि मूलों का योग \(-b/a\) होता है, इसलिए \(x\) का गुणांक (\(b\)) हमेशा शून्य होगा।
Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) के मूलों (roots) और उसके गुणांकों (coefficients) के बीच संबंध पर आधारित है।
हमें दिया गया है कि \(p(x)\) के दो शून्यक (zeroes) \(1\) और \(-1\) हैं, और हमें \(x\) के गुणांक का मान ज्ञात करना है।
Step 2: Key Formula or Approach:
एक द्विघात बहुपद जिसके मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं, उसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\[ p(x) = a(x - \alpha)(x - \beta) \]
जहाँ \(a \neq 0\) एक वास्तविक संख्या है।
Step 3: Detailed Explanation:
• चूँकि \(p(1) = 0\) और \(p(-1) = 0\), इसका अर्थ है कि \(x = 1\) और \(x = -1\) इस बहुपद के मूल हैं।
• अतः, हम बहुपद \(p(x)\) को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\[ p(x) = a(x - 1)(x - (-1)) \]
\[ p(x) = a(x - 1)(x + 1) \]
\[ p(x) = a(x^2 - 1) \]
\[ p(x) = ax^2 - a \]
• यदि हम इसकी तुलना मानक द्विघात बहुपद \(p(x) = ax^2 + bx + c\) से करें, तो हम पाते हैं:
- \(x^2\) का गुणांक = \(a\)
- \(x\) का गुणांक (\(b\)) = 0
- अचर पद (\(c\)) = \(-a\)
अतः, \(p(x)\) में \(x\) का गुणांक 0 है।
Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि दोनों मूल परिमाण में समान और विपरीत चिन्ह के होने के कारण \(x\) का गुणांक शून्य हो जाता है।
