मान लीजिए कि a1, a2, a3, . . . धनात्मक पूर्णांकों की एक गुणोत्तर श्रेणी है। यदि a1 = 3 है, तथा सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए an+2 − 2an = an+1 है, तो a1 + a2 + a3 + a4 + a5 का मान क्या होगा?
Show Hint
जब भी अनुक्रम के कर्मागत पदों का संबंध दिया हो (जैसे \(a_{n+2} - a_{n+1} - 2a_n = 0\)), तो गुणोत्तर श्रेणी के लिए इसे सीधे \(r^2 - r - 2 = 0\) लिखकर सार्वअनुपात तुरंत ज्ञात किया जा सकता है।
Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression) की अवधारणा और उसके पदों के योगफल पर आधारित है।
हमें गुणोत्तर श्रेणी का सार्वअनुपात (common ratio, \(r\)) ज्ञात करके पहले पांच पदों का योगफल निकालना है।
Step 2: Key Formula or Approach:
1. गुणोत्तर श्रेणी का \(n\) वां पद: \(a_n = a_1 r^{n-1}\)
2. \(n\) पदों का योगफल:
\[ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \]
Step 3: Detailed Explanation:
• माना श्रेणी का पहला पद \(a_1 = 3\) है और सार्वअनुपात \(r\) है।
• हमें दिया गया संबंध है:
\[ a_{n+2} - 2a_n = a_{n+1} \]
• सभी पदों को \(a_n = a_1 r^{n-1}\) के रूप में रखने पर:
\[ a_1 r^{n+1} - 2 a_1 r^{n-1} = a_1 r^n \]
चूँकि \(a_1 = 3 \neq 0\) और \(r > 0\) (धनात्मक पूर्णांकों की श्रेणी होने के कारण), हम दोनों पक्षों को \(a_1 r^{n-1}\) से विभाजित कर सकते हैं:
\[ r^2 - 2 = r \]
\[ r^2 - r - 2 = 0 \]
• इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\[ (r - 2)(r + 1) = 0 \]
चूँकि श्रेणी के सभी पद धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए सार्वअनुपात \(r\) भी धनात्मक होना चाहिए।
अतः, \(r = 2\).
• अब, श्रेणी के पहले 5 पद इस प्रकार हैं:
- \(a_1 = 3\)
- \(a_2 = 3 \times 2 = 6\)
- \(a_3 = 6 \times 2 = 12\)
- \(a_4 = 12 \times 2 = 24\)
- \(a_5 = 24 \times 2 = 48\)
• इन सभी पदों का योगफल:
\[ S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 \]
अतः, योगफल का मान 93 है।
Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि सार्वअनुपात \(r=2\) होने से पदों का योग ठीक 93 प्राप्त होता है।
