Question

मान लीजिए कि n = 2026 है। यदि 49n + 41n + 10n को 100 से भाग दें तो शेषफल कितना होगा?

• A. 2
• B. 1
• C. 90
• D. 49

Hint:

जब भी किसी संख्या के अंत में 1 हो (जैसे 41), तो उसकी \(5k\) घातांक हमेशा अंत में 01 देगी।
उसी प्रकार, यदि अंत में 9 हो (जैसे 49), तो सम घातांक हमेशा अंत में 01 देगी। इस नियम से ऐसी गणनाएँ बहुत आसान हो जाती हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न संख्या पद्धति (Number System) के अंतर्गत शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) और मॉड्यूलो अंकगणित (Modulo Arithmetic) से संबंधित है।
हमें बड़ी घातांक संख्या \((49^n + 41^n + 10^n)\) को 100 से भाग देने पर प्राप्त होने वाले शेषफल को ज्ञात करना है।

Step 2: Detailed Explanation:

• हमें दिया गया है कि \(n = 20^{26}\) है।
चूँकि \(n = 20^{26}\), इसका अर्थ है कि \(n\) एक सम संख्या (even number) है और यह 100 का भी गुणज है क्योंकि इसके अंत में दो से अधिक शून्य होंगे।

• अब हम प्रत्येक पद को अलग-अलग 100 के सापेक्ष (modulo 100) सरल करते हैं:

• पद 1: \(10^n \pmod{100}\)
चूँकि \(n = 20^{26} \ge 2\), इसलिए \(10^n\) में कम से कम 26 शून्य होंगे।
अतः, \(10^n \equiv 0 \pmod{100}\).

• पद 2: \(49^n \pmod{100}\)
हम जानते हैं कि:
\[ 49^2 = 2401 \equiv 1 \pmod{100} \]
चूँकि \(n = 20^{26}\) एक सम संख्या है, हम इसे \(n = 2k\) लिख सकते हैं।
\[ 49^n = (49^2)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{100} \]

• पद 3: \(41^n \pmod{100}\)
हम जानते हैं कि \((41)^5 \equiv 1 \pmod{100}\) क्योंकि:
- \(41^1 \equiv 41\)
- \(41^2 \equiv 81\)
- \(41^3 \equiv 21\)
- \(41^4 \equiv 61\)
- \(41^5 \equiv 01 \pmod{100}\)
चूँकि \(n = 20^{26}\), यह संख्या 5 से पूरी तरह विभाजित होती है (\(n = 5m\))।
\[ 41^n = (41^5)^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{100} \]

• कुल शेषफल की गणना:
\[ (49^n + 41^n + 10^n) \pmod{100} \equiv 1 + 1 + 0 \equiv 2 \pmod{100} \]

अतः, कुल शेषफल 2 होगा।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि सम और 5 के गुणज घातांकों के कारण प्रत्येक पद का सरल शेषफल क्रमशः 1, 1 और 0 बचता है।