Question

एक विमीय सरल आवर्त कंपन करने वाले एक स्प्रिंग-द्रव्यमान दोलक पर विचार कीजिए। कण का द्रव्यमान \(m\) kg है और स्प्रिंग नियतांक \(k\; Nm^{-1}\) है। किसी दिए गए क्षण पर, स्प्रिंग का विस्तार \(x\) मीटर है और कण की चाल \(v\; ms^{-1}\) है। \(x-v\) तल पर, यदि \(x\) के फलन के रूप में \(v\) का आलेख एक वृत्त है, तो सही विकल्प है :

• A. \(k=m^2\)
• B. \(k=\sqrt{m}\)
• C. \(k=\frac{1}{m}\)
• D. \(k=m\)

Hint:

SHM में \(x-v\) ग्राफ सामान्यतः दीर्घवृत्त होता है। यदि दोनों अक्षों के गुणांक समान हों, तभी वह वृत्त बनता है।

Answer 1

The Correct Option is C

पद 1: प्रश्न को समझना
यह प्रश्न स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के सरल आवर्त गति (SHM) पर आधारित है। हमें \(x-v\) ग्राफ का स्वरूप देखकर स्प्रिंग नियतांक \(k\) और द्रव्यमान \(m\) के बीच संबंध ज्ञात करना है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
सरल आवर्त गति के लिए: \[ v^2=\omega^2(A^2-x^2) \] जहाँ, \[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \] इसलिए, \[ v^2=\frac{k}{m}(A^2-x^2) \] पद 3: विस्तृत व्याख्या
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: \[ v^2+\frac{k}{m}x^2=\frac{k}{m}A^2 \] यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है।
यदि यह ग्राफ एक वृत्त (circle) है, तो \(x^2\) और \(v^2\) के गुणांक बराबर होने चाहिए। अर्थात्: \[ \frac{k}{m}=1 \] इससे, \[ k=m \] अब विकल्पों में देखें: \[ k=m \] अतः सही उत्तर विकल्प (D) है।
पद 4: अंतिम उत्तर
स्प्रिंग नियतांक और द्रव्यमान के बीच संबंध: \[ k=m \] अतः सही विकल्प (D) है।