Question

एक 2×2 आव्यूह A जिसके अवयव वास्तविक संख्याएं हैं, के लिए गुणनफल AA · · · A (m times), जबकि m एक धनात्मक पूर्णांक है, को Am द्वारा निरूपित कीजिए। मान लीजिए कि x0 = 0, x1 = 1 है तथा सभी n $\ge$ 2 के लिए xn = xn−1 + xn−2 है। परिभाषित कीजिए:
\[ A_n = \begin{bmatrix} x_{n+1} & x_n \\ x_n & x_{n-1} \end{bmatrix}, \text{ सभी } n \ge 1 \text{ के लिए।} \]
निम्न में से कौन सा कथन सभी m $\ge$ 3 के लिए सत्य है?

• A. \(A_1^m = A_1^{m-1} + A_1^{m-2}\)
• B. \(\det(A_m) = -1\)
• C. \(A_1^m - A_1^{m-1} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
• D. \(A_m - A_{m-1} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

Hint:

फिबोनाची आव्यूह \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) की \(m\)-वीं घात हमेशा \(\begin{bmatrix} x_{m+1} & x_m \\ x_m & x_{m-1} \end{bmatrix}\) के समान होती है।
यह एक मानक परिणाम है जिसे परीक्षा की दृष्टि से याद रखना बहुत लाभकारी होता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न आव्यूह सिद्धांत (Matrix Theory) और प्रसिद्ध फिबोनाची अनुक्रम (Fibonacci Sequence) के बीच अंतर्संबंधों पर आधारित है।
हमें आव्यूह \(A_n\) की घातों की विशेषताओं का विश्लेषण करके दिए गए कथनों की सत्यता की जांच करनी है।

Step 2: Detailed Explanation:

• फिबोनाची अनुक्रम के अनुसार:
\(x_0 = 0\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 3\), आदि।

• अब हम \(n=1\) के लिए आव्यूह \(A_1\) का मान लिखते हैं:
\[ A_1 = \begin{bmatrix} x_2 & x_1 \\ x_1 & x_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

• आव्यूह \(A_1\) के क्रमिक गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\[ A_1^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_3 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{bmatrix} = A_2 \]
\[ A_1^3 = A_1^2 \cdot A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_4 & x_3 \\ x_3 & x_2 \end{bmatrix} = A_3 \]
गणितीय आगमन (Mathematical Induction) से हम लिख सकते हैं कि:
\[ A_1^m = A_m \quad (\text{सभी } m \ge 1 \text{ के लिए}) \]

• अब कैली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) का उपयोग करके \(A_1\) का अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) ज्ञात करते हैं:
\[ \det(A_1 - \lambda I) = 0 \implies \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} = 0 \]
\[ -\lambda(1-\lambda) - 1 = 0 \implies \lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \]
अतः आव्यूह रूप में:
\[ A_1^2 - A_1 - I = O \]

• समीकरण को दोनों तरफ \(A_1^{m-2}\) से गुणा करने पर (जहाँ \(m \ge 3\)):
\[ A_1^m - A_1^{m-1} - A_1^{m-2} = O \]
\[ A_1^m = A_1^{m-1} + A_1^{m-2} \]

यह परिणाम सीधे विकल्प (A) को संतुष्ट करता है।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि कैली-हैमिल्टन समीकरण से सीधे फिबोनाची आव्यूह का यह संबंध स्थापित होता है।