Question

सम्मिश्र संख्याओं के तल में निम्न समुच्चयों पर विचार कीजिए:
\[ A = \left\{ \cos \left(\frac{2n\pi}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n\pi}{5}\right) : n \in \mathbb{Z} \right\} \] तथा
\[ B = \left\{ \cos \left(\frac{2n}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n}{5}\right) : n \in \mathbb{Z} \right\} \].
निम्न कथनों में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. A परिमित है परन्तु B अपरिमित है।
• B. A परिमित है और B भी परिमित है।
• C. A अपरिमित है परन्तु B परिमित है।
• D. A अपरिमित है और B भी अपरिमित है।

Hint:

जब सम्मिश्र संख्या के कोणांक (argument) में \(\pi\) उपस्थित होता है (जैसे \(2n\pi/5\)), तो पूर्णांक मानों के लिए वह हमेशा एक परिमित समुच्चय (जैसे इकाई के मूल) बनाएगा।
परंतु यदि \(\pi\) अनुपस्थित हो (जैसे \(2n/5\)), तो वह हमेशा एक अपरिमित समुच्चय बनाएगा।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) के समुच्चयों की परिमितता (finiteness) से संबंधित है।
हमें ओइलर के सूत्र (\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)) का उपयोग करके दोनों समुच्चयों में भिन्न-भिन्न अवयवों की संख्या ज्ञात करनी है।

Step 2: Detailed Explanation:

• समुच्चय A के लिए:
माना \(z_n = \cos \left(\frac{2n\pi}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n\pi}{5}\right) = e^{i\frac{2n\pi}{5}}\).
यदि हम \(n\) को \(n+5\) से प्रतिस्थापित करें:
\[ z_{n+5} = e^{i\frac{2(n+5)\pi}{5}} = e^{i\frac{2n\pi}{5}} \cdot e^{i 2\pi} = e^{i\frac{2n\pi}{5}} = z_n \]
चूंकि सम्मिश्र संख्याएं प्रत्येक 5 अंतरालों के बाद दोहराई जाती हैं, इसलिए समुच्चय A में केवल 5 अद्वितीय अवयव (इकाई के 5वें मूल) होंगे। अतः, A एक परिमित (finite) समुच्चय है।

• समुच्चय B के लिए:
माना \(w_n = \cos \left(\frac{2n}{5}\right) + i\sin \left(\frac{2n}{5}\right) = e^{i\frac{2n}{5}}\).
दो अलग-अलग पूर्णांकों \(n_1\) और \(n_2\) के लिए मान समान होने की शर्त है:
\[ \frac{2n_1}{5} - \frac{2n_2}{5} = 2k\pi \quad (\text{जहाँ } k \in \mathbb{Z}) \]
\[ n_1 - n_2 = 5k\pi \]
चूंकि \(\pi\) एक अपरिमेय संख्या (irrational number) है, दो पूर्णांकों का अंतर कभी भी \(\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं हो सकता (जब तक कि \(k = 0\) न हो, जिससे \(n_1 = n_2\))।
अतः, सभी \(n \in \mathbb{Z}\) के लिए \(w_n\) के मान भिन्न होंगे। इसलिए, समुच्चय B में अनंत अवयव हैं, अर्थात यह अपरिमित (infinite) है।

अतः, "A परिमित है परन्तु B अपरिमित है" कथन सत्य है।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि \(\pi\) की अपरिमेयता के कारण समुच्चय B के मान कभी पुनरावृत्ति नहीं करते।