Question

प्रकाश विद्युत प्रभाव के किसी प्रायोगिक अध्ययन में कार्य फलन \(\phi_0\) वाले एक धातु का प्रयोग किया जा रहा है। आपतित फोटॉन का वह लघुतम तरंगदैर्ध्य क्या होगा जिससे कि द्रव्यमान \(m\) वाले उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, आपतित फोटॉन के दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के समान हो जाए? [\(h\) प्लांक का स्थिरांक है, \(c\) प्रकाश का वेग है और \(\phi_0 \ll mc^2\)]

• A. \(\frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• B. \(\frac{h}{mc} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• C. \(\frac{h}{mc} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)
• D. \(\frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1}\)

Hint:

न्यूनतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए द्विघात समीकरण में हमेशा धनात्मक (+) चिह्न लिया जाता है क्योंकि तरंगदैर्ध्य और \(x = 1/\lambda\) एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न आधुनिक भौतिकी (Modern Physics), आइंस्टीन के प्रकाश विद्युत समीकरण और दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य (De Broglie Wavelength) के सिद्धांतों पर आधारित है।

Step 2: Key Formula or Approach:
फोटॉन की ऊर्जा: \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
आइंस्टीन का समीकरण: \(K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0\)
इलेक्ट्रॉन का दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य: \(\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}\)
प्रश्न के अनुसार, हमें \(\lambda_e = \lambda\) रखना है।

Step 3: Detailed Explanation:

• समीकरण की स्थापना:
चूँकि \(\lambda_e = \lambda\), हम लिख सकते हैं:
\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi_0\right)}} \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ \lambda^2 = \frac{h^2}{2m\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi_0\right)} \]
\[ \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \]

• द्विघात समीकरण का निर्माण:
माना \(x = \frac{1}{\lambda}\), तो समीकरण निम्न प्रकार होगा:
\[ hc x - \phi_0 = \frac{h^2}{2m} x^2 \]
\[ \frac{h^2}{2m} x^2 - hc x + \phi_0 = 0 \]
पूरे समीकरण को \(\frac{h^2}{2m}\) से भाग देने पर:
\[ x^2 - \frac{2mc}{h} x + \frac{2m\phi_0}{h^2} = 0 \]

• \(x\) के लिए हल:
द्विघात सूत्र \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) का उपयोग करने पर:
\[ x = \frac{\frac{2mc}{h} \pm \sqrt{\left(\frac{2mc}{h}\right)^2 - \frac{8m\phi_0}{h^2}}}{2} \]
\[ x = \frac{mc}{h} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right) \]

• लघुतम तरंगदैर्ध्य (\(\lambda_{min}\)) के लिए:
तरंगदैर्ध्य \(\lambda = 1/x\) को न्यूनतम करने के लिए, हमें \(x\) को अधिकतम करना होगा।
इसलिए हम धनात्मक चिन्ह (+) चुनेंगे:
\[ x_{max} = \frac{mc}{h} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right) \]
\[ \lambda_{min} = \frac{h}{mc} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{2\phi_0}{mc^2}} \right)^{-1} \]

अतः न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का मान विकल्प (A) के समान प्राप्त होता है।