Question

फलन f : R $\rightarrow$ R को f(x) = sin2(7x) − sin2(5x) से परिभाषित करें। निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

• A. f अंतराल \(\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)\) पर वर्धमान है।
• B. f(x) $>$ 0, सभी x $\in$ \(\left(0, \frac{\pi}{48}\right)\) के लिए।
• C. f\(\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\) + f(x) = 0, सभी x $\in$ R के लिए।
• D. f\(\left(\frac{\pi}{12}\right)\) = 0

Hint:

जब ऐसे बहुविकल्पीय प्रश्नों में तीन विकल्प (B, C और D) आसानी से और सीधे सिद्ध हो जाएं, तो समय बचाने के लिए शेष बचे विकल्प को सीधे असत्य घोषित कर देना सबसे सटीक रणनीति है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न त्रिकोणमितीय फलनों (trigonometric functions) की विशेषताओं जैसे अंतराल में वर्धमान/ह्रासमान होना, धनात्मकता, और आवर्तता (periodicity) पर आधारित है।
हमें दिए गए चार कथनों में से उस कथन की पहचान करनी है जो सत्य नहीं (असत्य) है।

Step 2: Key Formula or Approach:
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके फलन को सरल करें:
\[ \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B) \]
अतः, \(f(x) = \sin(12x)\sin(2x)\)

Step 3: Detailed Explanation:

• कथन (D) की जांच:
\[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(12 \times \frac{\pi}{12}\right)\sin\left(2 \times \frac{\pi}{12}\right) = \sin(\pi)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 \times \frac{1}{2} = 0 \]
यह कथन बिल्कुल सत्य है।

• कथन (B) की जांच:
यदि \(x \in \left(0, \frac{\pi}{48}\right)\), तो:
- \(2x \in \left(0, \frac{\pi}{24}\right) \implies \sin(2x) > 0\)
- \(12x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \implies \sin(12x) > 0\)
दोनों धनात्मक होने के कारण इनका गुणनफल \(f(x) > 0\) होगा। यह कथन भी सत्य है।

• कथन (C) की जांच:
\[ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2\left(7x + \frac{7\pi}{2}\right) - \sin^2\left(5x + \frac{5\pi}{2}\right) \]
चूँकि \(\sin\left(\theta + \frac{7\pi}{2}\right) = -\cos\theta\) और \(\sin\left(\theta + \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\theta\) होता है,
\[ f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos^2(7x) - \cos^2(5x) = (1-\sin^2(7x)) - (1-\sin^2(5x)) = \sin^2(5x) - \sin^2(7x) = -f(x) \]
अतः, \(f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + f(x) = 0\) सत्य है।

• कथन (A) की जांच:
चूंकि विकल्प B, C, D पूर्णतः सत्य हैं, इसलिए आकलित रूप से कथन (A) असत्य होना चाहिए क्योंकि इस विस्तृत अंतराल में फलन लगातार वर्धमान नहीं रह सकता।

अतः, कथन (A) सत्य नहीं है।

Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि यह दी गई शर्तों के अंतर्गत असत्य कथन है।