Question

एक तल में स्थित सभी वृत्तों के समुच्चय को C से निरूपित कीजिए। उपसमुच्चय R $\subseteq$ C $\times$ C को निम्न द्वारा परिभाषित कीजिए:
R = {(C1, C2) $\in$ C $\times$ C $|$ C1 व C2 एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं}.
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. R एक स्वतुल्य व सममित संबंध है किन्तु संक्रामक नहीं है।
• B. R एक स्वतुल्य व संक्रामक संबंध है किन्तु सममित नहीं है।
• C. R एक सममित व संक्रामक संबंध है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
• D. R एक संबंध नहीं है।

Hint:

ज्यामितीय संबंधों (जैसे प्रतिच्छेदन, लम्बवत होना, स्पर्श करना आदि) में संक्रामकता आमतौर पर लागू नहीं होती है, क्योंकि दो अलग-अलग वस्तुएं किसी तीसरी वस्तु से स्वतंत्र रूप से जुड़ी हो सकती हैं बिना आपस में जुड़े।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न संबंध एवं फलन (Relations and Functions) के अंतर्गत संबंधों के प्रकारों जैसे स्वतुल्य (reflexive), सममित (symmetric), और संक्रामक (transitive) संबंधों की जांच पर आधारित है।
हमें समतल में स्थित वृत्तों के प्रतिच्छेदन संबंध \(R\) के गुणों का विश्लेषण करना है।

Step 2: Detailed Explanation:

• स्वतुल्यता (Reflexivity):
कोई वृत्त \(C_1\) स्वयं के संपाती (coincident) होता है, अर्थात वह स्वयं के साथ अनंत बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः, प्रत्येक \(C_1 \in \mathcal{C}\) के लिए \((C_1, C_1) \in \mathcal{R}\) सत्य है।
तो, संबंध \(R\) स्वतुल्य (reflexive) है।

• सममितता (Symmetry):
यदि वृत्त \(C_1\) वृत्त \(C_2\) को प्रतिच्छेद करता है, तो निश्चित रूप से वृत्त \(C_2\) भी वृत्त \(C_1\) को प्रतिच्छेद करेगा।
यानी, \((C_1, C_2) \in \mathcal{R} \implies (C_2, C_1) \in \mathcal{R}\) हमेशा सत्य होगा।
इसलिए, संबंध \(R\) सममित (symmetric) है।

• संक्रामकता (Transitivity):
मान लीजिए कि वृत्त \(C_1\) वृत्त \(C_2\) को प्रतिच्छेद करता है, और वृत्त \(C_2\) वृत्त \(C_3\) को प्रतिच्छेद करता है।
क्या यह आवश्यक है कि \(C_1\) और \(C_3\) भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करें?
नहीं, यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि \(C_1\) बाईं ओर एक छोटा वृत्त है और \(C_3\) दाईं ओर स्थित एक अन्य छोटा वृत्त है जो \(C_1\) से बहुत दूर है। अब \(C_2\) को एक बहुत बड़ा वृत्त मान लीजिए जो दोनों को अपने भीतर या सीमाओं पर प्रतिच्छेद करता है।
यहाँ \((C_1, C_2) \in \mathcal{R}\) और \((C_2, C_3) \in \mathcal{R}\) है, परंतु \(C_1\) और \(C_3\) आपस में प्रतिच्छेद नहीं करते (\((C_1, C_3) \notin \mathcal{R}\))।
इसलिए, संबंध \(R\) संक्रामक (transitive) नहीं है।

अतः, संबंध \(R\) स्वतुल्य व सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि प्रतिच्छेदन संबंध सममित और स्वतुल्य होता है परंतु इसमें संक्रामकता का अभाव होता है।