Question

L' लम्बाई एवं 'm' रेखीय द्रव्यमान घनत्व वाले पतले तार को मोड़कर एक वृत्ताकार वलय (पेरा) बनाया जाता है, जिसे 'C' केन्द्र पर x-y तल में चित्रानुसार रखा जाता है। अक्ष yy' के परितः वलय का जड़त्व आघूर्ण होगा : 
 

• A. \( \frac{3mL^3}{8\pi^2} \)
• B. \( \frac{3mL^2}{8\pi} \)
• C. \( \frac{3mL}{8\pi^2} \)
• D. \( \frac{3mL^3}{8\pi} \)

Hint:

जड़त्व आघूर्ण की समस्याओं के लिए, समानांतर और लंबवत अक्ष प्रमेयों को अच्छी तरह से समझें। हमेशा द्रव्यमान केंद्र के माध्यम से अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण से शुरू करें और फिर आवश्यक अक्ष पर स्थानांतरित करने के लिए प्रमेय का उपयोग करें।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
हमें एक वृत्ताकार वलय का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है, जो L लंबाई और m रेखीय द्रव्यमान घनत्व वाले तार से बना है। जड़त्व आघूर्ण yy' अक्ष के परितः ज्ञात करना है, जो वलय की परिधि पर एक स्पर्शरेखा है।


Step 2: Key Formula or Approach:
1. वलय का द्रव्यमान (M) और त्रिज्या (R) ज्ञात करें।
2. लंबवत अक्ष प्रमेय (Perpendicular Axis Theorem) का उपयोग करके वलय के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें।
3. समानांतर अक्ष प्रमेय (Parallel Axis Theorem) का उपयोग करके स्पर्शरेखा अक्ष yy' के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें।
समानांतर अक्ष प्रमेय: \( I = I_{cm} + Md^2 \)
लंबवत अक्ष प्रमेय: \( I_z = I_x + I_y \)


Step 3: Detailed Explanation:
चरण 1: वलय का द्रव्यमान और त्रिज्या ज्ञात करना
दिया गया है: तार की लंबाई = L, रेखीय द्रव्यमान घनत्व = m.
वलय का कुल द्रव्यमान (M) = रेखीय द्रव्यमान घनत्व × लंबाई
\[ M = mL \] जब तार को एक वृत्ताकार वलय में मोड़ा जाता है, तो तार की लंबाई वलय की परिधि बन जाती है।
\[ 2\pi R = L \implies R = \frac{L}{2\pi} \] चरण 2: व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना
वलय के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले अक्ष (z-अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण होता है:
\[ I_z = MR^2 \] लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, \( I_z = I_x + I_y \)।
चूंकि वलय सममित है, इसके किसी भी व्यास (जैसे x-अक्ष या y-अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है।
\[ I_x = I_y = I_{व्यास} \] \[ I_z = I_{व्यास} + I_{व्यास} = 2 I_{व्यास} \] \[ I_{व्यास} = \frac{I_z}{2} = \frac{1}{2}MR^2 \] यह केंद्र से गुजरने वाले और yy' अक्ष के समानांतर अक्ष (अर्थात, y-अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण है। तो, \( I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2 \)।
चरण 3: समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करना
अक्ष yy' y-अक्ष के समानांतर है और R की दूरी पर है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर:
\[ I_{yy'} = I_{cm} + Md^2 \] यहाँ \( d = R \)।
\[ I_{yy'} = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2 \] चरण 4: M और R का मान रखना
अब हम M और R के मानों को m और L के पदों में प्रतिस्थापित करते हैं:
\[ I_{yy'} = \frac{3}{2}(mL) \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 \] \[ I_{yy'} = \frac{3}{2}mL \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) \] \[ I_{yy'} = \frac{3mL^3}{8\pi^2} \]

Step 4: Final Answer:
अक्ष yy' के परितः वलय का जड़त्व आघूर्ण \( \frac{3mL^3}{8\pi^2} \) है। यह विकल्प (A) से मेल खाता है।