जहाँ समाकलन सीमा −1 से 2 है, \(\int_{-1}^{2} \min\{1 - x, 1 - x^3\} \, dx\) का मान क्या है?
Show Hint
जब भी दो वक्रों का तुलनात्मक समाकलन करना हो, तो हमेशा दोनों वक्रों को एक रफ़ आलेख (graph) पर खींचें।
इससे न्यूनतम या अधिकतम भाग का निर्धारण अत्यधिक सरल और त्रुटिहीन हो जाता है।
Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न निश्चित समाकलन (definite integration) के अंतर्गत न्यूनतम फलन (\(\min\{f(x), g(x)\}\)) के समाकलन से संबंधित है।
हमें समाकलन की सीमा \([-1, 2]\) को उप-अंतरालों में विभाजित करना होगा जहाँ फलन \(1 - x\) और \(1 - x^3\) में से कौन छोटा है, यह निश्चित किया जा सके।
Step 2: Key Formula or Approach:
सबसे पहले दोनों फलनों के प्रतिच्छेदन बिन्दु ज्ञात करें:
\[ 1 - x = 1 - x^3 \implies x^3 - x = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0 \]
अतः प्रतिच्छेदन बिन्दु \(x = -1, 0, 1\) हैं।
Step 3: Detailed Explanation:
• अंतराल \([-1, 0]\) में:
यदि हम \(x = -0.5\) पर मानों की जांच करें:
\(1 - x = 1.5\)
\(1 - x^3 = 1.125\)
चूंकि \(1 - x^3 < 1 - x\), अतः इस अंतराल में \(\min\{1-x, 1-x^3\} = 1 - x^3\) होगा।
• अंतराल \([0, 1]\) में:
यदि हम \(x = 0.5\) पर मानों की जांच करें:
\(1 - x = 0.5\)
\(1 - x^3 = 0.875\)
चूंकि \(1 - x < 1 - x^3\), अतः इस अंतराल में \(\min\{1-x, 1-x^3\} = 1 - x\) होगा।
• अंतराल \([1, 2]\) में:
यदि हम \(x = 1.5\) पर मानों की जांच करें:
\(1 - x = -0.5\)
\(1 - x^3 = -2.375\)
चूंकि \(1 - x^3 < 1 - x\), अतः इस अंतराल में \(\min\{1-x, 1-x^3\} = 1 - x^3\) होगा।
• समाकलन की गणना:
\[ I = \int_{-1}^{0} (1-x^3) \, dx + \int_{0}^{1} (1-x) \, dx + \int_{1}^{2} (1-x^3) \, dx \]
प्रत्येक भाग का समाकलन करने पर:
- प्रथम भाग:
\[ I_1 = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{5}{4} \]
- द्वितीय भाग:
\[ I_2 = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
- तृतीय भाग:
\[ I_3 = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = (2 - 4) - \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = -2 - \frac{3}{4} = -\frac{11}{4} \]
- कुल समाकलन:
\[ I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{4} + \frac{2}{4} - \frac{11}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \]
अतः समाकलन का मान \(-1\) है।
Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि विभिन्न अंतरालों में फलन के न्यूनतम मानों का योग ठीक \(-1\) आता है।
