Question

एकसमान रूप से वितरित धनात्मक पृष्ठीय आवेश घनत्व \(\sigma\), \(\sigma\) और \(2\sigma\) वाली तीन सीमारहित समतल चादरें चित्र में प्रदर्शित व्यवस्था के अनुसार एक दूसरे के समानांतर \(d\) दूरी पर रखी हुई हैं। एक \(d/2\) त्रिज्या वाले गोलीय गाउसीय पृष्ठ \(S\) का केन्द्र मध्य में रखी हुई चादर पर स्थित है। गाउसीय पृष्ठ \(S\) के बायें (Left) अर्धगोले से गुजरने वाले वैद्युत फ्लक्स \(\Phi_L\) और दायें (Right) अर्धगोले से गुजरने वाले वैद्युत फ्लक्स \(\Phi_R\) के बारे में निम्न में से कौन सा कथन सही है?

• A. \(\Phi_L > \Phi_R\)
• B. \(\Phi_L < \Phi_R\)
• C. \(\Phi_L = \Phi_R\)
• D. \(\Phi_L = 2\Phi_R\)

Hint:

अनंत समतल चादरों के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र दूरी पर निर्भर नहीं करता। इसलिए, विभिन्न क्षेत्रों में सीधे दिशाओं को ध्यान में रखकर विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग करें।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न स्थिरविद्युतिकी (Electrostatics) के अंतर्गत गॉस के नियम (Gauss's Law) और अनंत समतल चादरों के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र पर आधारित है।
हमें गाउसीय पृष्ठ के दोनों हिस्सों (बाएं और दाएं) से गुजरने वाले नेट फ्लक्स की तुलना करनी है।

Step 2: Key Formula or Approach:
एक अनंत समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र: \(E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
विद्युत फ्लक्स: \(\Phi = \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}\)

Step 3: Detailed Explanation:

• विद्युत क्षेत्रों की गणना:
तीन चादरें क्रमशः \(x = -d\) (आवेश \(\sigma\)), \(x = 0\) (आवेश \(\sigma\)), और \(x = d\) (आवेश \(2\sigma\)) पर स्थित हैं।
गाउसीय गोला \(S\) त्रिज्या \(R = d/2\) का है और इसका केंद्र \(x = 0\) पर है।
यह गोला पूरी तरह से \(x = -d/2\) से \(x = d/2\) के बीच स्थित है।
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बाएँ अर्धगोले के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र (\(-d/2 < x < 0\)):
बाईं चादर (\(x = -d\)) के कारण क्षेत्र: \(+x\) दिशा में, मान \(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
मध्य चादर (\(x = 0\)) के कारण क्षेत्र: \(-x\) दिशा में, मान \(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
दाईं चादर (\(x = d\)) के कारण क्षेत्र: \(-x\) दिशा में, मान \(\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}\)
कुल विद्युत क्षेत्र \(\mathbf{E}_L\):
\[ \mathbf{E}_L = \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \right) \hat{i} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{i} \]
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दाएँ अर्धगोले के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र (\(0 < x < d/2\)):
बाईं चादर (\(x = -d\)) के कारण क्षेत्र: \(+x\) दिशा में, मान \(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
मध्य चादर (\(x = 0\)) के कारण क्षेत्र: \(+x\) दिशा में, मान \(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)
दाईं चादर (\(x = d\)) के कारण क्षेत्र: \(-x\) दिशा में, मान \(\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}\)
कुल विद्युत क्षेत्र \(\mathbf{E}_R\):
\[ \mathbf{E}_R = \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \right) \hat{i} = 0 \]

• फ्लक्स की तुलना:
चूँकि दाएँ क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र शून्य है (\(\mathbf{E}_R = 0\)), इसलिए दाएँ अर्धगोले से गुजरने वाला फ्लक्स \(\Phi_R = 0\) होगा।
बाएँ क्षेत्र में एक गैर-शून्य विद्युत क्षेत्र (\(\mathbf{E}_L = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{i}\)) बाहर की ओर कार्य कर रहा है, जिससे बाएँ अर्धगोले से गुजरने वाला फ्लक्स \(\Phi_L > 0\) होगा।
अतः, \(\Phi_L > \Phi_R\) है।