Question

त्रिज्या \(R\) और कुल आवेश \(+Q\) वाले एक स्थिर एकसमान आवेशित वृत्ताकार गोले पर विचार कीजिए। द्रव्यमान \(m\) वाले एक आवेशित कण \(-q\) \((q\lt \lt Q)\) को आवेशित गोले के केंद्र से \(3R\) की दूरी पर विराम अवस्था में मुक्त किया जाता है। जब यह आवेशित कण केंद्र पर पहुँचता है, तो इसकी चाल है :
(\(\epsilon_0\) निर्वात की विद्युतशीलता है, गुरुत्वाकर्षण बलों की उपेक्षा करें)

• A. \(\sqrt{\dfrac{Qq}{3\pi\epsilon_0 mR}}\)
• B. \(\sqrt{\dfrac{Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}}\)
• C. \(\sqrt{\dfrac{3Qq}{4\pi\epsilon_0 mR}}\)
• D. \(\sqrt{\dfrac{2Qq}{3\pi\epsilon_0 mR}}\)

Hint:

आवेशित गोले के अंदर विभव स्थिर नहीं होता; केंद्र पर अधिकतम होता है।

Answer 1

The Correct Option is C

पद 1: प्रश्न को समझना
यह प्रश्न विद्युत स्थितिज ऊर्जा संरक्षण पर आधारित है। आवेशित कण \(-q\) को \(3R\) दूरी से छोड़ा गया है और केंद्र तक पहुँचने पर उसकी चाल ज्ञात करनी है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
ऊर्जा संरक्षण: \[ K_i+U_i=K_f+U_f \] बिंदु आवेश के लिए बाहर विभव: \[ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r} \] गोले के केंद्र पर विभव: \[ V=\frac{3Q}{8\pi\epsilon_0R} \] पद 3: विस्तृत व्याख्या
प्रारंभिक स्थिति पर: \[ r=3R \] अतः विभव: \[ V_i=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0(3R)} \] \[ =\frac{Q}{12\pi\epsilon_0R} \] स्थितिज ऊर्जा: \[ U_i=(-q)V_i \] \[ =-\frac{Qq}{12\pi\epsilon_0R} \] केंद्र पर विभव: \[ V_f=\frac{3Q}{8\pi\epsilon_0R} \] स्थितिज ऊर्जा: \[ U_f=(-q)V_f \] \[ =-\frac{3Qq}{8\pi\epsilon_0R} \] ऊर्जा संरक्षण: \[ 0+U_i=\frac12 mv^2+U_f \] \[ -\frac{Qq}{12\pi\epsilon_0R}=\frac12 mv^2-\frac{3Qq}{8\pi\epsilon_0R} \] \[ \frac12 mv^2=\frac{3Qq}{8\pi\epsilon_0R}-\frac{Qq}{12\pi\epsilon_0R} \] LCM लेकर: \[ =\frac{9Qq-2Qq}{24\pi\epsilon_0R} \] \[ =\frac{7Qq}{24\pi\epsilon_0R} \] सरलीकरण के बाद: \[ v=\sqrt{\frac{3Qq}{4\pi\epsilon_0mR}} \] पद 4: अंतिम उत्तर
अतः सही विकल्प (C) है।