Question

पाँच संधारित्र जिनकी धारिताएँ \(C_1=C_2=C_3=C_4=10 \, \mu F\) और \(C_5=2.5 \, \mu F\) हैं, को 50 V की बैटरी के साथ जोड़ा गया है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। तुल्य धारिता और प्रत्येक संधारित्र पर आवेश का मान क्रमशः हैं: 
 

• A. 5 µF, सभी संधारित्रों पर 125 µC
• B. 5 µF, सभी संधारित्रों पर 250 µC
• C. 4 µF, \(C_1\) से \(C_4\) पर 250 µC और \(C_5\) पर 125 µC
• D. 5 µF, \(C_1\) से \(C_4\) पर 125 µC और \(C_5\) पर 25 µC

Hint:

संधारित्र व्हीटस्टोन ब्रिज समस्याओं में, हमेशा पहले संतुलन की स्थिति (\(C_1/C_4 = C_2/C_3\)) की जाँच करें। यदि यह संतुलित है, तो गणना बहुत सरल हो जाती है क्योंकि मध्य संधारित्र को अनदेखा किया जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

पद 1: प्रश्न को समझना
हमें दिए गए संधारित्रों के परिपथ की तुल्य धारिता और प्रत्येक संधारित्र पर आवेश ज्ञात करना है। परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में है। प्रश्न में दिए गए मानों (\(C_1=C_2=C_3=C_4=10 \mu F\)) और विकल्पों के बीच एक विसंगति प्रतीत होती है। हम सबसे संभावित परिदृश्य के आधार पर हल करेंगे।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
1. व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलन की स्थिति: संधारित्रों के लिए, यदि \(\frac{C_1}{C_4} = \frac{C_2}{C_3}\) है, तो ब्रिज संतुलित होता है। संतुलित स्थिति में, मध्य संधारित्र (\(C_5\)) से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है, और इसे परिपथ से हटाया जा सकता है। 2. श्रेणीक्रम में संधारित्र: \(\frac{1}{C_{series}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\) 3. समानांतर क्रम में संधारित्र: \(C_{parallel} = C_a + C_b\) 4. संधारित्र पर आवेश: \(Q = CV\) पद 3: विस्तृत व्याख्या
प्रश्न में दिए गए मानों के अनुसार, \(C_1=C_2=C_3=C_4=10 \, \mu F\)। आइए संतुलन की स्थिति की जाँच करें: \[ \frac{C_1}{C_4} = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{और} \quad \frac{C_2}{C_3} = \frac{10}{10} = 1 \] चूंकि अनुपात बराबर हैं, ब्रिज संतुलित है। इसलिए, संधारित्र \(C_5\) में कोई आवेश नहीं होगा (\(Q_5 = 0\)) और इसे गणना के लिए हटाया जा सकता है। अब परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: ऊपरी शाखा: \(C_1\) और \(C_2\) श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता \(C_{12}\) है: \[ \frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_{12} = 5 \, \mu F \] निचली शाखा: \(C_4\) और \(C_3\) श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता \(C_{34}\) है: \[ \frac{1}{C_{34}} = \frac{1}{C_4} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_{34} = 5 \, \mu F \] कुल तुल्य धारिता (\(C_{eq}\)) \(C_{12}\) और \(C_{34}\) का समानांतर संयोजन है: \[ C_{eq} = C_{12} + C_{34} = 5 \, \mu F + 5 \, \mu F = 10 \, \mu F \] यह गणना किसी भी विकल्प में तुल्य धारिता (5 µF या 4 µF) से मेल नहीं खाती है। इसका अर्थ है कि प्रश्न में दिए गए मान गलत हैं। त्रुटि सुधार और पुनर्गणना: आइए मान लें कि प्रश्न में एक मुद्रण त्रुटि है और \(C_1=C_2=C_3=C_4=5 \mu F\) होना चाहिए था। (यह एक सामान्य परीक्षा प्रश्न पैटर्न है, और इससे विकल्पों में दिया गया एक मान प्राप्त हो सकता है)। इस मामले में: ब्रिज अभी भी संतुलित है (\(5/5=5/5\))। \(C_{12} = (5 \times 5)/(5+5) = 2.5 \mu F\) \(C_{34} = (5 \times 5)/(5+5) = 2.5 \mu F\) \(C_{eq} = 2.5 + 2.5 = 5 \mu F\) यह विकल्पों में दी गई तुल्य धारिता से मेल खाता है। अब हम आवेश की गणना करते हैं: कुल आवेश \(Q_{total} = C_{eq}V = 5 \mu F \times 50 V = 250 \mu C\)। ऊपरी शाखा पर आवेश \(Q_{12} = C_{12}V = 2.5 \mu F \times 50 V = 125 \mu C\)। चूंकि \(C_1\) और \(C_2\) श्रेणीक्रम में हैं, \(Q_1=Q_2=125\mu C\)। इसी तरह, निचली शाखा पर आवेश \(Q_{34} = C_{34}V = 2.5 \mu F \times 50 V = 125 \mu C\)। चूंकि \(C_3\) और \(C_4\) श्रेणीक्रम में हैं, \(Q_3=Q_4=125\mu C\)। और \(Q_5 = 0\)। पद 4: अंतिम उत्तर
इस संशोधित धारणा के आधार पर, परिणाम हैं: \(C_{eq}=5\mu F\), और \(Q_1=Q_2=Q_3=Q_4=125\mu C\)। विकल्प (A) कहता है "5 µF, सभी संधारित्रों पर 125 µC"। यह हमारे परिणाम के सबसे करीब है। वाक्यांश "सभी संधारित्रों" थोड़ा गलत है क्योंकि \(Q_5=0\), लेकिन दिए गए विकल्पों में से यह सबसे अच्छा है।