Question

निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण विर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक समष्टि वृद्धि को अभिव्यक्त करता है ? 
 

• A. \(\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K-N}{K}\right)\)
• B. \(\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K+N}{K}\right)\)
• C. \(\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K}{K-N}\right)\)
• D. \(\frac{dN}{dt} = rN\)

Hint:

लॉजिस्टिक वृद्धि समीकरण को चरघातांकी वृद्धि समीकरण (\(rN\)) में एक "ब्रेकिंग" या "सीमित" कारक \(\left(\frac{K-N}{K}\right)\) जोड़कर बनाया गया है।

Answer 1

The Correct Option is A

चरण 1: प्रश्न को समझना:
प्रश्न में विर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल के लिए सही गणितीय समीकरण की पहचान करने के लिए कहा गया है।
चरण 2: समष्टि वृद्धि मॉडलों का विश्लेषण:
समष्टि वृद्धि के दो मुख्य मॉडल हैं:
• चरघातांकी वृद्धि (Exponential Growth): यह मॉडल तब लागू होता है जब संसाधन असीमित होते हैं। समष्टि बिना किसी सीमा के तेजी से बढ़ती है। इसका समीकरण है: \[ \frac{dN}{dt} = rN \] जहाँ \(\frac{dN}{dt}\) समय के साथ समष्टि आकार में परिवर्तन की दर है, \(r\) प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है, और \(N\) समष्टि का आकार है। (विकल्प (D) चरघातांकी वृद्धि को दर्शाता है)
• लॉजिस्टिक वृद्धि (Logistic Growth): यह एक अधिक यथार्थवादी मॉडल है जो यह मानता है कि संसाधन सीमित हैं। प्रत्येक पर्यावरण की एक अधिकतम समष्टि आकार को बनाए रखने की क्षमता होती है, जिसे पोषण क्षमता या वहन क्षमता (Carrying Capacity - K) कहा जाता है। जैसे-जैसे समष्टि का आकार (N) K के करीब पहुंचता है, वृद्धि दर धीमी हो जाती है। लॉजिस्टिक वृद्धि का समीकरण विर्हुल्स्ट-पर्ल समीकरण कहलाता है: \[ \frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K-N}{K}\right) \] यहाँ, \(\left(\frac{K-N}{K}\right)\) पद पर्यावरणीय प्रतिरोध को दर्शाता है। जब N बहुत छोटा होता है, तो यह पद लगभग 1 होता है और वृद्धि चरघातांकी होती है। जब N, K के बराबर हो जाता है, तो यह पद शून्य हो जाता है, और वृद्धि रुक जाती है। चरण 3: अंतिम उत्तर:
विर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि का सही समीकरण \(\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K-N}{K}\right)\) है। यह विकल्प (A) से मेल खाता है।