नीचे दिया गया चित्र, एक लम्बा, सीधा ठोस तार, जिसके वृत्ताकार अनुप्रस्थ-काट की त्रिज्या 'a' है और जो एक स्थायी धारा I वहन कर रहा है, को दर्शाता है। धारा I, अनुप्रस्थ-काट के आर-पार एकसमान रूप से वितरित है। वह आरेख, जो चुम्बकीय क्षेत्र (B) के, चालक के अक्ष से दूरी (r) पर परिवर्तन को सही निरूपित करता है, वह है:
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एक ठोस बेलनाकार तार के लिए, याद रखें: अंदर B रैखिक (\(B \propto r\)) और बाहर B हाइपरबोलिक (\(B \propto 1/r\)) होता है। अधिकतम B सतह पर होता है।
पद 1: प्रश्न को समझना
हमें एक लंबे, सीधे, ठोस बेलनाकार तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र (B) का अक्ष से दूरी (r) के साथ परिवर्तन के लिए सही ग्राफ की पहचान करनी है। तार की त्रिज्या 'a' है और इसमें एकसमान धारा I बह रही है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करके, हम तार के अंदर और बाहर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं।
1. तार के अंदर (\(r \le a\)):
एकसमान धारा घनत्व \(J = \frac{I}{\pi a^2}\) है।
त्रिज्या r के एक एम्पीयर लूप के लिए, संलग्न धारा \(I_{enc} = J \times (\pi r^2) = I \frac{r^2}{a^2}\) है।
एम्पीयर के नियम से, \(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}\), हमें मिलता है:
\[ B(2\pi r) = \mu_0 \left(I \frac{r^2}{a^2}\right) \]
\[ B_{in} = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\right) r \]
इससे पता चलता है कि तार के अंदर, चुंबकीय क्षेत्र दूरी r के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। \(B \propto r\)।
2. तार की सतह पर (\(r = a\)):
चुंबकीय क्षेत्र अपने अधिकतम मान पर होता है:
\[ B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \]
3. तार के बाहर (\(r \ge a\)):
त्रिज्या r के एक एम्पीयर लूप के लिए, संलग्न धारा कुल धारा I है।
एम्पीयर के नियम से:
\[ B(2\pi r) = \mu_0 I \]
\[ B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
इससे पता चलता है कि तार के बाहर, चुंबकीय क्षेत्र दूरी r के व्युत्क्रमानुपाती होता है। \(B \propto \frac{1}{r}\)।
पद 3: विस्तृत व्याख्या
हमारे परिणामों के आधार पर:
• \(r=0\) से \(r=a\) तक, B शून्य से \(B_{max}\) तक रैखिक रूप से बढ़ता है। ग्राफ एक सीधी रेखा होनी चाहिए जो मूल बिंदु से गुजरती है।
• \(r > a\) के लिए, B, \(B_{max}\) से हाइपरबोलिक रूप से घटता है, जो शून्य की ओर जाता है जैसे-जैसे \(r \to \infty\)।
अब हम दिए गए ग्राफ़ों की जाँच करते हैं:
ग्राफ (1): यह \(r=0\) से \(r=a\) तक एक रैखिक वृद्धि दिखाता है, और फिर \(r > a\) के लिए एक हाइपरबोलिक कमी दिखाता है। यह हमारी व्युत्पत्ति से बिल्कुल मेल खाता है।
ग्राफ (2): यह \(r=a\) पर एक असंततता दिखाता है, जो गलत है। B, \(r=a\) पर सतत है।
ग्राफ (3): यह तार के अंदर एक गैर-रैखिक संबंध दिखाता है, जो गलत है।
ग्राफ (4): यह तार के अंदर चुंबकीय क्षेत्र को स्थिर दिखाता है, जो गलत है।
इसलिए, ग्राफ (1) सही निरूपण है।
पद 4: अंतिम उत्तर
चुंबकीय क्षेत्र तार के केंद्र में शून्य होता है, सतह तक रैखिक रूप से बढ़ता है, और फिर सतह से दूरी के साथ व्युत्क्रमानुपाती रूप से घटता है। ग्राफ (1) इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।
