दो पूर्णांक r व l लीजए जिनके लिए r $\ge$ l $\ge$ 3 है। ऐसे कितने फलन f : {1, 2, . . . r} $\rightarrow$ {1, 2, . . . r} हैं जिनके लिए f(1), f(2), . . . , f(l) सर्वथा अलग-अलग हैं?
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जब डोमेन के कुछ विशिष्ट अवयवों को भिन्न मान देने हों, तो पहले उन्हें 'एक-एक' (one-one) नियम से व्यवस्थित करें और शेष बचे अवयवों को स्वतंत्र रूप से सह-डोमेन के आकार की घात के रूप में व्यवस्थित करें।
Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) के सिद्धांतों का उपयोग करके विशिष्ट फलनों (functions) की संख्या की गणना करने से संबंधित है।
हमें उन फलनों की कुल संख्या ज्ञात करनी है जिनके डोमेन (domain) के पहले \(l\) अवयवों के प्रतिबिंब (images) सह-डोमेन (codomain) में सर्वथा भिन्न-भिन्न हों।
Step 2: Detailed Explanation:
• फलन का डोमेन \(D = \{1, 2, \dots, r\}\) है (अवयवों की संख्या = \(r\))।
• फलन का सह-डोमेन \(C = \{1, 2, \dots, r\}\) है (अवयवों की संख्या = \(r\))।
• हमें यह प्रतिबंध दिया गया है कि पहले \(l\) अवयवों के मान \(f(1), f(2), \dots, f(l)\) सर्वथा भिन्न-भिन्न होने चाहिए।
• इन पहले \(l\) अवयवों को भिन्न-भिन्न मान देने के कुल तरीके:
- \(f(1)\) के लिए उपलब्ध विकल्प = \(r\)
- \(f(2)\) के लिए उपलब्ध विकल्प = \(r - 1\)
- \(f(3)\) के लिए उपलब्ध विकल्प = \(r - 2\)
- ...
- \(f(l)\) के लिए उपलब्ध विकल्प = \(r - l + 1\)
इनका गुणनफल = \(r(r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1)\) होगा।
• शेष बचे हुए \((r - l)\) अवयवों (जैसे \(l+1, l+2, \dots, r\)) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इनमें से प्रत्येक अवयव सह-डोमेन के सभी \(r\) अवयवों में से किसी से भी संबद्ध हो सकता है।
अतः, इनके संबद्ध होने के कुल तरीके = \(\underbrace{r \times r \times \dots \times r}_{(r-l) \text{ बार}} = r^{r - l}\) होंगे।
• कुल फलनों की संख्या:
\[ \text{कुल फलन} = [r(r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1)] \times r^{r - l} \]
चूँकि \(r \times r^{r - l} = r^{r - l + 1}\) होता है, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\[ \text{कुल फलन} = r^{r - l + 1} (r - 1)(r - 2)\dots(r - l + 1) \]
यह परिणाम विकल्प (A) से बिल्कुल मेल खाता है।
Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि यह गणना के सरल गुणन नियम के सिद्धांतों का पूर्णतः पालन करता है।
