Question

बिन्दु A(\(4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}\)), B(\(2\hat{j}\)) तथा C(\(-4\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}\)) के संदर्भ में निम्न कथनों में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. A, B व C समरैखिक हैं।
• B. \(\vec{AB} + 3\vec{BC}\) व \(\vec{AC}\) लम्बवत हैं।
• C. \(\vec{AB} \times \vec{BC} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\).
• D. \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) तथा \(\vec{CA}\) परस्पर लम्बवत हैं।

Hint:

समरैखिकता की जाँच करने के लिए हमेशा \(\vec{AB}\) और \(\vec{BC}\) निकालें।
यदि एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज हो (\(\vec{AB} = \lambda \vec{BC}\)), तो बिन्दु हमेशा समरैखिक होते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न त्रिविमीय सदिश बीजगणित (3D Vector Algebra) के अंतर्गत बिन्दुओं की समरैखिकता (collinearity) और सदिशों के संबंधों से संबंधित है।
हमें दिए गए स्थिति सदिशों (position vectors) की सहायता से सही विकल्प की जांच करनी है।

Step 2: Key Formula or Approach:
तीन बिन्दु A, B और C समरैखिक होंगे यदि सदिश \(\vec{AB}\) और \(\vec{BC}\) एक-दूसरे के समानांतर हों:
\[ \vec{AB} = \lambda \vec{BC} \quad (\text{जहाँ } \lambda \text{ एक अदिश है}) \]

Step 3: Detailed Explanation:

• दिए गए बिन्दुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
\[ \vec{OA} = 4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \]
\[ \vec{OB} = 2\hat{j} \]
\[ \vec{OC} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k} \]

• अब हम सदिशों \(\vec{AB}\) और \(\vec{BC}\) की गणना करते हैं:
\[ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0 - 4)\hat{i} + (2 - 1)\hat{j} + (0 - 3)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \]
\[ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (-4 - 0)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (-3 - 0)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \]

• ध्यान दीजिए कि:
\[ \vec{AB} = \vec{BC} \]
यहाँ \(\lambda = 1\) है।

• चूँकि \(\vec{AB}\) और \(\vec{BC}\) समान सदिश हैं और दोनों में बिन्दु B उभयनिष्ठ (common) है, इसलिए बिन्दु A, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, अर्थात वे समरैखिक (collinear) हैं।

अतः, विकल्प (A) पूर्णतः सत्य है।

Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि दोनों सदिश पूर्णतः संरेख हैं जिससे समरैखिकता सिद्ध होती है।