Question

यंग के द्विझिरी प्रयोग में, \(\lambda\) तरंगदैर्ध्य का एकवर्णी प्रकाश प्रयोग करने पर, परदे पर एक बिंदु पर, जहाँ पथ-अंतर (पथांतर) \(\lambda\) है, प्रकाश की तीव्रता K इकाई है। तो किसी दूसरे बिंदु पर जहाँ पथांतर \(\lambda/3\) है, प्रकाश की तीव्रता होगी: 
 

• A. \(K/4\)
• B. \(K\)
• C. \(K/2\)
• D. \(2K\)

Hint:

यंग के द्विझिरी प्रयोग में तीव्रता के प्रश्नों के लिए, संबंध \(I = I_{max} \cos^2(\phi/2)\) को याद रखें, जहाँ कलांतर \(\phi = (2\pi/\lambda) \times \text{पथांतर}\) है।

Answer 1

The Correct Option is A

पद 1: प्रश्न को समझना
यंग के द्विझिरी प्रयोग में, हमें दो बिंदुओं पर तीव्रता की तुलना करनी है। पहले बिंदु पर, पथांतर \(\lambda\) है और तीव्रता K है। हमें दूसरे बिंदु पर तीव्रता ज्ञात करनी है, जहाँ पथांतर \(\lambda/3\) है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
यंग के द्विझिरी प्रयोग में किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता (I) का सूत्र है: \[ I = I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) \] जहाँ \(I_0\) अधिकतम तीव्रता है और \(\phi\) दो तरंगों के बीच का कलांतर है। कलांतर (\(\phi\)) और पथांतर (\(\Delta x\)) के बीच संबंध है: \[ \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x \] इसलिए, तीव्रता का सूत्र पथांतर के पदों में बन जाता है: \[ I = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \Delta x}{\lambda}\right) \] पद 3: विस्तृत व्याख्या
स्थिति 1: पथांतर, \(\Delta x_1 = \lambda\)। इस बिंदु पर तीव्रता, \(I_1 = K\)। आइए इस बिंदु पर तीव्रता की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: \[ I_1 = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \lambda}{\lambda}\right) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (-1)^2 = I_0 \] तो, हमें दिया गया है कि अधिकतम तीव्रता \(I_0 = K\)। (पथांतर \(\lambda\) एक रचनात्मक व्यतिकरण का बिंदु है, जो एक चमकीली फ्रिंज है, जहाँ तीव्रता अधिकतम होती है)। स्थिति 2: पथांतर, \(\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}\)। हमें इस बिंदु पर तीव्रता \(I_2\) ज्ञात करनी है। सूत्र का उपयोग करते हुए: \[ I_2 = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi (\lambda/3)}{\lambda}\right) \] \[ I_2 = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) \] हम जानते हैं कि \(\cos(\pi/3) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)। \[ I_2 = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{4} \] चूंकि हमने स्थिति 1 से पाया कि \(I_0 = K\), हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं: \[ I_2 = \frac{K}{4} \] पद 4: अंतिम उत्तर
जिस बिंदु पर पथांतर \(\lambda/3\) है, वहाँ तीव्रता K/4 होगी। यह विकल्प (A) से मेल खाता है।