Question

એક યુનિટ સકારાત્મક પોઇન્ટ ચાર્જને એક સમાન રીતે ચાર્જિત ડાયલેક્ટ્રિક ગોળા (ત્રિજ્યા \( R \), વોલ્યુમ ચાર્જ ઘનતા \( \rho \))ની અંદર અત્યંત પાતળી ટ્યુબમાંથી ધીમે ધીમે ખસેડવામાં આવે છે. ચાર્જની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ B અને A છે, જે કેન્દ્રથી અનુક્રમે 3R અને 2R દૂર છે. જો ચાર્જ પર કરેલા કાર્યનું મેગ્નિટ્યુડ \( \frac{\rho R^2}{n \varepsilon_0} \) હોય તો \( n \) શોધો:

• A. 18
• B. 2
• C. 6
• D. 9

Hint:

ગોળાની બહારનું ક્ષેત્ર બિંદુવત ચાર્જ જેવું જ વર્તે છે, તેથી ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્ર શોધવું સરળ છે!

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Concept:
ગોળાની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} \) છે. કાર્ય \( W = \int_B^A (-q\vec{E}) \cdot d\vec{r} \). અહીં \( q=1 \).

Step 2: Detailed Explanation:
\[ W = \int_{3R}^{2R} \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} dr = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{3R}^{2R} \]
\[ W = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left( \frac{1}{3R} - \frac{1}{2R} \right) = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left( \frac{2-3}{6R} \right) = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \left( -\frac{1}{6R} \right) = -\frac{\rho R^2}{18\varepsilon_0} \]
મેગ્નિટ્યુડ \( \frac{\rho R^2}{18\varepsilon_0} \) હોવાથી, \( n = 18 \).

Step 3: Final Answer:
\( n = 18 \).