Question

ત્રિજ્યા \( R \) અને કુલ આધાન \( +Q \)વાળા સ્થિર સમાન રીતે ચાર્જિત ઇન્સ્યુલેટિંગ ગોળાને ધ્યાનમાં લો. દ્રવ્યમાન \( m \)વાળો પોઇન્ટ ચાર્જ \( -q \) (\( q \ll Q \)) કેન્દ્રથી 3R દૂરથી આરામની સ્થિતિમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે પોઇન્ટ ચાર્જ ગોળાની સપાટી પર પહોંચે છે, તેની ઝડપ છે:

• A. \( \sqrt{\frac{Qq}{4\pi\epsilon_0 m R}} \)
• B. \( \sqrt{\frac{3Qq}{4\pi\epsilon_0 m R}} \)
• C. \( \sqrt{\frac{2Qq}{3\pi\epsilon_0 m R}} \)
• D. \( \sqrt{\frac{Qq}{3\pi\epsilon_0 m R}} \)

Hint:

ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતી વખતે પોટેન્શિયલ એનર્જી \( U = qV \) છે, અને નેગેટિવ ચાર્જ માટે તે \( -qV \) થશે.

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: Understanding the Concept:
ગોળાની બહાર વિદ્યુતસ્થિતિમાન \( V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} \) હોય છે. ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ, \( \Delta K + \Delta U = 0 \).

Step 2: Key Formula or Approach:
\( \frac{1}{2}mv^2 + (-q)V(R) = 0 + (-q)V(3R) \).

Step 3: Detailed Explanation:
\( \frac{1}{2}mv^2 = q [V(R) - V(3R)] = q \left[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{3R} \right] \).
\( \frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{4\pi\epsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{Qq}{4\pi\epsilon_0 R} \times \frac{2}{3} = \frac{Qq}{6\pi\epsilon_0 R} \).
\( v^2 = \frac{2Qq}{6\pi\epsilon_0 m R} = \frac{Qq}{3\pi\epsilon_0 m R} \). (ગણતરી મુજબ વિકલ્પ C)

Step 4: Final Answer:
ઝડપ \( v = \sqrt{\frac{Qq}{3\pi\epsilon_0 m R}} \).