Question

એક સૌર મંડળમાં, ત્રિજ્યા \( R \)વાળા વર્તુળાકાર કક્ષાને અનુસરતા ગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો આના સમપ્રમાણમાં છે:

• A. \( R^3 \)
• B. \( R^{1/2} \)
• C. \( R^{3/2} \)
• D. \( R^2 \)

Hint:

કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ 'હાર્મોનિક લો' તરીકે પણ ઓળખાય છે, જે ત્રિજ્યા અને સમયગાળા વચ્ચેનો ગાણિતિક સંબંધ દર્શાવે છે.

Answer 1

The Correct Option is C

Step 1: Understanding the Concept:
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, ગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો \( T \) અને કક્ષાની ત્રિજ્યા \( R \) વચ્ચેનો સંબંધ \( T^2 \propto R^3 \) છે.

Step 2: Detailed Explanation:
ગુરુત્વાકર્ષી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: \( \frac{GMm}{R^2} = m \omega^2 R = m (\frac{2\pi}{T})^2 R \).
સાદુરૂપ આપતા: \( T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM} \), તેથી \( T \propto R^{3/2} \).

Step 3: Final Answer:
પરિભ્રમણનો સમયગાળો \( R^{3/2} \) ના સમપ્રમાણમાં છે.