Question

हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजित अवस्था में, उसके इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा -3.4 eV है। इस स्थिति में, हाइड्रोजन नाभिक से इलेक्ट्रॉन की त्रिज्य दूरी लगभग है : (1 eV = 1.6 \( \times \) 10\(^{-19}\) J, e = 1.6 \( \times \) 10\(^{-19}\) C और \( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \) = 9 \( \times \) 10\(^9\) N m\(^2\)/C\(^2\) लीजिए) 
 

• A. \(2.1 \times 10^{-12}\) m
• B. \(2.1 \times 10^{-11}\) m
• C. \(2.1 \times 10^{-9}\) m
• D. \(2.1 \times 10^{-10}\) m

Hint:

बोहर मॉडल के लिए, याद रखें कि ऊर्जा \(E_n \propto 1/n^2\) और त्रिज्या \(r_n \propto n^2\) होती है। प्रथम उत्तेजित अवस्था का मतलब n=2 है, मूल अवस्था का मतलब n=1 है।

Answer 1

The Correct Option is D

Step 1: Understanding the Question:
हमें हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजित अवस्था (n=2) में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या ज्ञात करनी है। हमें इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा दी गई है।


Step 2: Key Formula or Approach:
बोहर मॉडल में n-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा (E) और त्रिज्या (r) के बीच संबंध है:
\[ E_n = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r_n} \] जहाँ \(E_n\) n-वीं कक्षा में कुल ऊर्जा है और \(r_n\) n-वीं कक्षा की त्रिज्या है।
हम इस सूत्र को \(r_n\) के लिए हल कर सकते हैं:
\[ r_n = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2E_n} \]

Step 3: Detailed Explanation:
चरण 1: दिए गए मानों को पहचानें और उन्हें SI इकाइयों में बदलें
ऊर्जा, \( E = -3.4 \, \text{eV} = -3.4 \times (1.6 \times 10^{-19}) \, \text{J} = -5.44 \times 10^{-19} \, \text{J} \)
इलेक्ट्रॉन का आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \)
कूलम्ब स्थिरांक, \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2 \)
प्रथम उत्तेजित अवस्था का अर्थ है \(n=2\)।
चरण 2: सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें
\[ r_2 = -\frac{k e^2}{2E_2} \] \[ r_2 = - \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{2 \times (-5.44 \times 10^{-19})} \] \[ r_2 = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{2 \times 5.44 \times 10^{-19}} \] \[ r_2 = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{10.88 \times 10^{-19}} \] \[ r_2 = \frac{23.04}{10.88} \times 10^{-10} \, \text{m} \approx 2.117 \times 10^{-10} \, \text{m} \] वैकल्पिक विधि: बोहर त्रिज्या का उपयोग
हम जानते हैं कि n-वीं कक्षा की त्रिज्या \( r_n = n^2 a_0 \) है, जहाँ \( a_0 \approx 0.529 \times 10^{-10} \) m बोहर त्रिज्या (मूल अवस्था, n=1 की त्रिज्या) है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए, n=2.
\[ r_2 = (2)^2 \times a_0 = 4 \times 0.529 \times 10^{-10} \, \text{m} = 2.116 \times 10^{-10} \, \text{m} \]

Step 4: Final Answer:
इलेक्ट्रॉन की त्रिज्य दूरी लगभग \(2.1 \times 10^{-10}\) m है। यह विकल्प (D) से मेल खाता है।