Question

एक प्रगामी गुणावृत्ति (हार्मोनिक) तरंग के लिए \(y(x, t) = 2.0 \cos 2\pi(10t - 0.0080x + 0.35)\) है, जहाँ x और y, cm में हैं और t सेकण्ड में है। दोलन करती हुई इस तरंग के दो बिंदु, जो कि एक-दूसरे से 0.5 m की दूरी पर हैं, के बीच का कलांतर है: 
 

• A. \( 8 \pi \) rad
• B. \( 0.08 \pi \) rad
• C. \( 0.008 \pi \) rad
• D. \( 0.8 \pi \) rad

Hint:

तरंग समीकरण से पैरामीटर निकालते समय हमेशा इकाइयों पर ध्यान दें। यदि x और y cm में हैं, तो तरंग संख्या (k) rad/cm में होगी और तरंगदैर्ध्य (λ) cm में होगी। गणना में सभी राशियों को संगत इकाइयों में बदलना सुनिश्चित करें।

Answer 1

The Correct Option is D

Step 1: Understanding the Question:
हमें एक प्रगामी तरंग का समीकरण दिया गया है। हमें इस तरंग पर 0.5 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच कलांतर (phase difference) ज्ञात करना है।


Step 2: Key Formula or Approach:
1. प्रगामी तरंग का मानक समीकरण: \( y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0) \)
2. कलांतर (Δφ) और पथांतर (Δx) के बीच संबंध: \( \Delta\phi = k \cdot \Delta x \), जहाँ k तरंग संख्या (wave number) है।
3. तरंग संख्या \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) होती है।


Step 3: Detailed Explanation:
चरण 1: दिए गए समीकरण से तरंग संख्या (k) ज्ञात करें
दिया गया समीकरण है:
\[ y(x, t) = 2.0 \cos 2\pi(10t - 0.0080x + 0.35) \] इसे कोष्ठक के अंदर \(2\pi\) से गुणा करके विस्तारित करें:
\[ y(x, t) = 2.0 \cos(20\pi t - 0.0160\pi x + 0.70\pi) \] अब इस समीकरण की तुलना मानक समीकरण \( y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0) \) से करें।
तुलना करने पर, हम पाते हैं:
तरंग संख्या, \( k = 0.0160\pi \) rad/cm.
(ध्यान दें कि x cm में है, इसलिए k की इकाई rad/cm होगी)।
चरण 2: पथांतर को सही इकाई में बदलें
दो बिंदुओं के बीच की दूरी (पथांतर) दी गई है:
\[ \Delta x = 0.5 \, \text{m} \] चूंकि k की इकाई rad/cm है, हमें Δx को भी cm में बदलना होगा।
\[ \Delta x = 0.5 \, \text{m} \times 100 \, \text{cm/m} = 50 \, \text{cm} \] चरण 3: कलांतर की गणना करें
कलांतर के सूत्र का उपयोग करें: \( \Delta\phi = k \cdot \Delta x \)
\[ \Delta\phi = (0.0160\pi \, \text{rad/cm}) \times (50 \, \text{cm}) \] \[ \Delta\phi = 0.0160 \times 50 \times \pi \, \text{rad} \] \[ \Delta\phi = 0.8 \pi \, \text{rad} \]

Step 4: Final Answer:
दो बिंदुओं के बीच का कलांतर \( 0.8 \pi \) rad है। यह विकल्प (D) से मेल खाता है।