Question

एक 'm' द्रव्यमान को, पृथ्वी की सतह से, पृथ्वी की त्रिज्या 'R' के बराबर ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य होगा : 
 

• A. 2 mg R
• B. mg R
• C. mg \( \frac{R}{4} \)
• D. mg \( \frac{R}{2} \)

Hint:

ध्यान दें कि जब ऊँचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में नगण्य नहीं होती है, तो आप W = mgh सूत्र का उपयोग नहीं कर सकते। आपको हमेशा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

Answer 1

The Correct Option is D

Step 1: Understanding the Question:
हमें एक वस्तु, जिसका द्रव्यमान 'm' है, को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या 'R' के बराबर ऊँचाई तक ले जाने में किए गए कार्य की गणना करनी है।


Step 2: Key Formula or Approach:
किया गया कार्य गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
\[ W = \Delta U = U_f - U_i \] पृथ्वी के केंद्र से 'r' दूरी पर किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का सूत्र है:
\[ U = -\frac{GMm}{r} \] जहाँ G सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M पृथ्वी का द्रव्यमान है, m वस्तु का द्रव्यमान है।
हम यह भी जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण \( g = \frac{GM}{R^2} \), इसलिए \( GM = gR^2 \)।


Step 3: Detailed Explanation:
चरण 1: प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा (\(U_i\)) की गणना करें
प्रारंभ में, वस्तु पृथ्वी की सतह पर है, इसलिए केंद्र से दूरी \(r_i = R\)।
\[ U_i = -\frac{GMm}{R} \] चरण 2: अंतिम स्थितिज ऊर्जा (\(U_f\)) की गणना करें
वस्तु को \(h = R\) की ऊँचाई तक उठाया जाता है। पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी \(r_f = R + h = R + R = 2R\)।
\[ U_f = -\frac{GMm}{2R} \] चरण 3: किए गए कार्य की गणना करें
किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
\[ W = U_f - U_i = \left(-\frac{GMm}{2R}\right) - \left(-\frac{GMm}{R}\right) \] \[ W = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{2GMm - GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R} \] चरण 4: g के पदों में उत्तर व्यक्त करें
अब, \(GM = gR^2\) प्रतिस्थापित करें:
\[ W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2} \]

Step 4: Final Answer:
अतः, किया गया कार्य \( \frac{mgR}{2} \) है। यह विकल्प (D) से मेल खाता है।