Question

एक एकसमान धात्विक तार, जिसका प्रतिरोध 4Ω है, को एक वर्गाकार लूप (ABCD) (चित्र देखें) के रूप में मोड़ा गया। एक 2Ω का प्रतिरोध बिंदुओं B और D के बीच जोड़ा गया और एक 2 V की बैटरी को बिंदुओं A और C के आरपार जोड़ा गया जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। अब धारा (I) का मान है: 
 

• A. 2 A
• B. 4 A
• C. 8 A
• D. 4.5 A

Hint:

सममित परिपथों में, व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलन की स्थिति की जाँच करें। यदि \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}\) है, तो मध्य शाखा को हटाकर परिपथ को सरल बनाया जा सकता है।

Answer 1

The Correct Option is A

पद 1: प्रश्न को समझना
एक 4Ω के तार को एक वर्ग ABCD में मोड़ा गया है। इसका मतलब है कि वर्ग की प्रत्येक भुजा (AB, BC, CD, DA) का प्रतिरोध 1Ω है। एक 2Ω का प्रतिरोधक B और D के बीच (विकर्ण के अनुदिश) जुड़ा हुआ है। एक 2V की बैटरी A और C के बीच (दूसरे विकर्ण के अनुदिश) जुड़ी हुई है। हमें बैटरी से निकलने वाली कुल धारा (I) ज्ञात करनी है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज का एक संशोधित रूप है। हम समरूपता या किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके परिपथ को सरल बना सकते हैं।
• समरूपता: बिंदु B और D, A और C के संबंध में सममित रूप से स्थित हैं। जब बैटरी A और C से जुड़ी होती है, तो B और D पर विभव समान होगा।
• व्हीटस्टोन ब्रिज: एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में, यदि प्रतिरोधों का अनुपात बराबर है (\(R_1/R_2 = R_3/R_4\)), तो मध्य शाखा में कोई धारा नहीं बहती है। तुल्य प्रतिरोध के लिए सूत्र: श्रेणीक्रम: \(R_{eq} = R_1 + R_2 + ...\) समानांतर क्रम: \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ...\)
पद 3: विस्तृत व्याख्या
वर्ग की प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध = \( \frac{4\Omega}{4} = 1\Omega \)। तो, \(R_{AB} = R_{BC} = R_{CD} = R_{DA} = 1\Omega\)। 2Ω का प्रतिरोधक B और D के बीच जुड़ा हुआ है। बैटरी A और C के बीच जुड़ी हुई है। आइए परिपथ को फिर से बनाएं। A और C मुख्य टर्मिनल हैं। ऊपरी पथ A से C तक ADC है। निचला पथ A से C तक ABC है। प्रतिरोधक \(R_{AD} = 1\Omega\) और \(R_{DC} = 1\Omega\) श्रेणीक्रम में हैं। प्रतिरोधक \(R_{AB} = 1\Omega\) और \(R_{BC} = 1\Omega\) श्रेणीक्रम में हैं। 2Ω का प्रतिरोधक B और D के बीच जुड़ा हुआ है। यह एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है। अनुपात देखें: \(\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{1\Omega}{1\Omega} = 1\) और \(\frac{R_{BC}}{R_{DC}} = \frac{1\Omega}{1\Omega} = 1\)। चूंकि अनुपात बराबर हैं (\(1=1\)), ब्रिज संतुलित है। एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में, मध्य शाखा (B और D के बीच) में कोई धारा नहीं बहती है। इसलिए, 2Ω प्रतिरोधक को परिपथ से हटाया जा सकता है क्योंकि यह अप्रभावी है। अब परिपथ सरल हो गया है। हमारे पास दो समानांतर शाखाएँ हैं: 1. शाखा ADC: प्रतिरोध \(R_{ADC} = R_{AD} + R_{DC} = 1\Omega + 1\Omega = 2\Omega\)। 2. शाखा ABC: प्रतिरोध \(R_{ABC} = R_{AB} + R_{BC} = 1\Omega + 1\Omega = 2\Omega\)। ये दोनों शाखाएँ A और C के बीच समानांतर में हैं। तो, तुल्य प्रतिरोध (\(R_{eq}\)) है: \[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{ADC}} + \frac{1}{R_{ABC}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ R_{eq} = 1\Omega \] अब, हम ओम के नियम का उपयोग करके बैटरी से कुल धारा (I) की गणना कर सकते हैं: \[ I = \frac{V}{R_{eq}} \] \[ I = \frac{2 \, \text{V}}{1 \, \Omega} = 2 \, \text{A} \] पद 4: अंतिम उत्तर
कुल धारा 2 A है। यह विकल्प (A) से मेल खाता है।