द्रव्यमान \(M\) का एक कण एक क्षैतिज \(x\) अक्ष पर \(x=0\) से \(x=L\) तक गति करता है। गतिज घर्षण गुणांक \(x\) के फलन के रूप में \(\mu_k(x)=\mu_0-\alpha x\) के अनुसार बदलता है, जहाँ \(\mu_0\) और \(\alpha\) धनात्मक नियतांक हैं, और \(\mu_k(L)=0\) है। तो कण द्वारा बल के विरुद्ध किया गया कुल कार्य \(n\mu_0MgL\) है, जहाँ गुरुत्वीय त्वरण \(g\) है। \(n\) का मान है :
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यदि कोई राशि रेखीय रूप से बदलती है, तो उसका औसत मान लेकर भी कुल कार्य जल्दी निकाला जा सकता है।
पद 1: प्रश्न को समझना
यह प्रश्न परिवर्ती घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य पर आधारित है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
घर्षण बल:
\[
F=\mu_k(x)Mg
\]
कुल कार्य:
\[
W=\int_0^L \mu_k(x)Mg\,dx
\]
पद 3: विस्तृत व्याख्या
दिया है:
\[
\mu_k(x)=\mu_0-\alpha x
\]
और
\[
\mu_k(L)=0
\]
अर्थात्:
\[
\mu_0-\alpha L=0
\]
\[
\alpha=\frac{\mu_0}{L}
\]
अब,
\[
W=Mg\int_0^L\left(\mu_0-\frac{\mu_0}{L}x\right)dx
\]
\[
=Mg\left[\mu_0x-\frac{\mu_0x^2}{2L}\right]_0^L
\]
\[
=Mg\left[\mu_0L-\frac{\mu_0L}{2}\right]
\]
\[
=\frac12 \mu_0MgL
\]
अतः,
\[
n=\frac12
\]
पद 4: अंतिम उत्तर
सही उत्तर विकल्प (B) है।
