Question

600 K पर, 191.47 kJ mol-1 की सक्रियण ऊर्जा के साथ एक अभिक्रिया का वेग स्थिरांक $5.0 \times 10^{-5}$ s-1 है। किस तापमान पर इस अभिक्रिया की अर्धायु 152 s होगी? [पूर्व-चरघातांकी गुणक तथा सक्रियण ऊर्जा को तापमान पर निर्भर नहीं मानिए। R = 8.314 J K-1 mol-1]

• A. 680 K
• B. 640 K
• C. 760 K
• D. 720 K

Hint:

ऐसी बड़े संख्यात्मक गणनाओं में इकाइयों (units) का विशेष ध्यान रखें (जैसे \(E_a\) को kJ से J में बदलना न भूलें) और लॉग के अनुमानित मानों का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न रासायनिक बलगतिकी (chemical kinetics) के अंतर्गत वेग स्थिरांक, अर्धायु (half-life) और आरहेनियस समीकरण (Arrhenius Equation) पर आधारित एक संख्यात्मक प्रश्न है।
हमें दिए गए आंकड़ों का उपयोग करके नए तापमान की गणना करनी है जहाँ अर्धायु 152 s हो जाती है।

Step 2: Key Formula or Approach:
1. प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्धायु और वेग स्थिरांक में संबंध:
\[ k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{t_{1/2}} \]
2. आरहेनियस समीकरण:
\[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \]

Step 3: Detailed Explanation:

• चरण 1: वेग स्थिरांक की इकाई (\(\text{s}^{-1}\)) से स्पष्ट है कि यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।

• चरण 2: नए तापमान \(T_2\) पर वेग स्थिरांक \(k_2\) की गणना:
\[ k_2 = \frac{0.693}{152 \text{ s}} \approx 4.56 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1} \]

• चरण 3: आरहेनियस समीकरण में सभी मान प्रतिस्थापित करने पर:
\(T_1 = 600 \text{ K}\)
\(k_1 = 5.0 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}\)
\(E_a = 191.47 \text{ kJ/mol} = 191470 \text{ J/mol}\)
\[ \ln\left(\frac{4.56 \times 10^{-3}}{5.0 \times 10^{-5}}\right) = \frac{191470}{8.314} \left(\frac{1}{600} - \frac{1}{T_2}\right) \]
\[ \ln(91.2) = 23030 \left(\frac{1}{600} - \frac{1}{T_2}\right) \]
चूँकि \(\ln(91.2) \approx 4.51\),
\[ 4.51 = 23030 \left(\frac{1}{600} - \frac{1}{T_2}\right) \]
\[ \frac{1}{600} - \frac{1}{T_2} = \frac{4.51}{23030} \approx 0.000196 \]
\[ 0.001667 - \frac{1}{T_2} = 0.000196 \]
\[ \frac{1}{T_2} = 0.001471 \]
\[ T_2 \approx 680 \text{ K} \]

अतः नया तापमान 680 K होगा।

Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि गणना के अनुसार आवश्यक तापमान 680 K प्राप्त होता है।