Question

की समान धारिता वाले दो अनावेशित संधारित्र हैं। इनमें से एक को 100 V के स्रोत से आवेशित करके हटा दिया जाता है, फिर इसे अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है। इस प्रक्रम में ह्रास हुई स्थिरवैद्युत ऊर्जा की मात्रा है: 
 

• A. \(1.0 \times 10^{-6}\) J
• B. \(0.5 \times 10^{-6}\) J
• C. 0.5 J
• D. 1.0 J

Hint:

जब एक C धारिता वाले संधारित्र, जिसे V वोल्ट तक आवेशित किया गया है, को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है, तो आधी प्रारंभिक ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है। ऊर्जा हानि हमेशा \( \frac{1}{2} U_i \) होती है।

Answer 1

The Correct Option is B

Step 1: Understanding the Question:
एक आवेशित संधारित्र को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है। हमें इस प्रक्रिया में ऊर्जा की हानि की गणना करनी है।


Step 2: Key Formula or Approach:
1. एक संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा: \( U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} \)
2. आवेश संरक्षण: जब संधारित्रों को जोड़ा जाता है, तो कुल आवेश संरक्षित रहता है।
3. ऊर्जा हानि (\(\Delta U\)) = प्रारंभिक ऊर्जा (\(U_i\)) - अंतिम ऊर्जा (\(U_f\))
4. दो संधारित्रों को जोड़ने पर ऊर्जा हानि का सीधा सूत्र (जब एक आवेशित हो और दूसरा अनावेशित हो): \( \Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} V^2 \)


Step 3: Detailed Explanation:
चरण 1: प्रारंभिक ऊर्जा (\(U_i\)) की गणना करें
प्रारंभ में, केवल एक संधारित्र आवेशित होता है।
धारिता, \( C = 200 \, \text{pF} = 200 \times 10^{-12} \, \text{F} = 2 \times 10^{-10} \, \text{F} \)
वोल्टेज, \( V = 100 \, \text{V} \)
प्रारंभिक ऊर्जा केवल पहले संधारित्र में संग्रहीत होती है:
\[ U_i = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-10} \, \text{F}) (100 \, \text{V})^2 \] \[ U_i = (10^{-10}) \times (10000) = 10^{-10} \times 10^4 = 10^{-6} \, \text{J} \] चरण 2: अंतिम ऊर्जा (\(U_f\)) की गणना करें
जब आवेशित संधारित्र को अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है, तो आवेश तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि दोनों पर वोल्टेज समान न हो जाए (उभयनिष्ठ विभव, \(V_f\))।
प्रारंभिक आवेश, \( Q_i = CV = (2 \times 10^{-10})(100) = 2 \times 10^{-8} \, \text{C} \)
कुल धारिता, \( C_{total} = C + C = 2C = 4 \times 10^{-10} \, \text{F} \)
उभयनिष्ठ विभव, \( V_f = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q_i}{2C} = \frac{CV}{2C} = \frac{V}{2} = \frac{100}{2} = 50 \, \text{V} \)
अंतिम कुल ऊर्जा:
\[ U_f = \frac{1}{2} C_{total} V_f^2 = \frac{1}{2} (2C) \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} (2C) \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4}CV^2 \] \[ U_f = \frac{1}{2} U_i = \frac{1}{2} (10^{-6} \, \text{J}) = 0.5 \times 10^{-6} \, \text{J} \] चरण 3: ऊर्जा हानि की गणना करें
\[ \Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} \, \text{J} - 0.5 \times 10^{-6} \, \text{J} = 0.5 \times 10^{-6} \, \text{J} \]

Step 4: Final Answer:
ऊर्जा की हानि \( 0.5 \times 10^{-6} \) J है। यह विकल्प (B) से मेल खाता है।