10 cm की फोकल दूरी वाला एक अवतल गोलीय दर्पण एवं 5 cm की फोकल दूरी वाला एक उभयोत्तल लेन्स अपने पारस्परिक मुख्य अक्ष पर चित्र में दर्शाये व्यवस्था के अनुसार संयोजित हैं। इस मुख्य अक्ष पर किसी बिम्ब को दर्पण एवं लेन्स के फोकस बिन्दुओं, क्रमशः \(F_1\) और \(F_2\) के बीच रखा गया है। यदि इस स्थिति में लेन्स के द्वारा दो वास्तविक एवं परस्पर उल्टे प्रतिबिम्ब मुख्य अक्ष के एक ही बिन्दु पर बनते हैं तो बिम्ब की दर्पण से दूरी कितनी होगी?
Show Hint
जब बिम्ब दर्पण के वक्रता केंद्र पर होता है, तो उसका प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है। इस तथ्य का उपयोग करके गणना को बहुत सरल बनाया जा सकता है।
Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न किरण प्रकाशिकी (Ray Optics) में दर्पण और लेंस के संयोजन पर आधारित है।
लेंस द्वारा दो वास्तविक और परस्पर उल्टे प्रतिबिंब तभी बन सकते हैं जब एक प्रकाश किरण सीधे लेंस से गुजरे और दूसरी किरण दर्पण से परावर्तित होकर लेंस से गुजरे।
Step 2: Key Formula or Approach:
दर्पण का सूत्र: \(\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}\)
लेंस का सूत्र: \(\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_l}\)
दोनों स्थितियों में लेंस के लिए प्रतिबिंब दूरी \(v\) समान होनी चाहिए।
Step 3: Detailed Explanation:
• दी गई जानकारी:
दर्पण और लेंस के बीच की दूरी \(d = 50\text{ cm}\)
दर्पण की फोकस दूरी \(f_m = -10\text{ cm}\) (अवतल दर्पण)
लेंस की फोकस दूरी \(f_l = +5\text{ cm}\) (उत्तल लेंस)
बिम्ब को दर्पण के फोकस \(F_1\) (10 cm दूरी पर) और लेंस के फोकस \(F_2\) (लेंस से 5 cm, अर्थात दर्पण से 45 cm दूरी पर) के बीच रखा गया है।
माना बिम्ब दर्पण से \(x\) दूरी पर स्थित है।
• प्रथम स्थिति (सीधे लेंस से जाने वाली किरणें):
लेंस से बिम्ब की दूरी \(u_1 = -(50 - x)\)
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
\[ \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-(50 - x)} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{50 - x} \]
• द्वितीय स्थिति (दर्पण से परावर्तन के बाद लेंस से जाने वाली किरणें):
दर्पण के लिए बिम्ब दूरी \(u_m = -x\)
दर्पण सूत्र द्वारा प्रतिबिंब दूरी \(v_m\) की गणना:
\[ \frac{1}{v_m} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{x} - \frac{1}{10} = \frac{10 - x}{10x} \]
\[ v_m = -\frac{10x}{x - 10} \]
यह प्रतिबिंब लेंस के लिए एक नए बिम्ब का कार्य करता है।
लेंस से इस नए बिम्ब की दूरी:
\[ u_2 = -\left(50 - |v_m|\right) = -\left(50 - \frac{10x}{x - 10}\right) \]
• प्रतिबिंबों के एक ही बिंदु पर बनने की शर्त:
चूँकि दोनों प्रतिबिंब एक ही स्थान पर बनते हैं, लेंस के लिए दोनों स्थितियों में बिम्ब दूरी समान होनी चाहिए, अर्थात:
\[ 50 - x = 50 - \frac{10x}{x - 10} \]
\[ x = \frac{10x}{x - 10} \]
चूँकि \(x \neq 0\), हम लिख सकते हैं:
\[ 1 = \frac{10}{x - 10} \implies x - 10 = 10 \implies x = 20\text{ cm} \]
इस दूरी पर, बिम्ब अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र (\(2f_m = 20\text{ cm}\)) पर स्थित है, जिससे इसका वास्तविक प्रतिबिंब ठीक उसी स्थान पर बनता है।
