Question

If \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) are perpendicular, then
\(\vec{a}\times\left(\vec{a}\times\left(\vec{a}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\right)\right)\)
is equal to :

• A. \(\frac{1}{2}|\vec{a}|^4\vec{b}\)
• B. \(\vec{0}\)
• C. \(\vec{a}\times\vec{b}\)
• D. \(|\vec{a}|^4\vec{b}\)

Hint:

Use \(\vec a\times(\vec a\times\vec v)=(\vec a\cdot\vec v)\vec a-|\vec a|^2\vec v\) repeatedly; with \(\vec a\perp\vec b\) the dot terms vanish.

Answer 1

The Correct Option is D

For \(\vec a\perp\vec b\): \(\vec a\times(\vec a\times\vec b)=(\vec a\cdot\vec b)\vec a-|\vec a|^2\vec b=-|\vec a|^2\vec b\).
Then \(\vec a\times\left(\vec a\times(\vec a\times\vec b)\right)=\vec a\times\left(-|\vec a|^2\vec b\right)=-|\vec a|^2(\vec a\times\vec b)\).
Finally \(\vec a\times\left[-|\vec a|^2(\vec a\times\vec b)\right]=-|\vec a|^2\left(\vec a\times(\vec a\times\vec b)\right)=-|\vec a|^2\left(-|\vec a|^2\vec b\right)=|\vec a|^4\vec b\).
Answer: (4) \(|\vec{a}|^4\vec{b}\)