एक इकाई धनात्मक बिंदु आवेश को धीमी-धीरे एक अत्यन्त पतली नली के माध्यम से ले जाया जाता है जो त्रिज्या \(R\) के एक आवेशित गोलाकार पृष्ठ के आर-पार है, जिसका एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व \(\rho\) है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। आवेश की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों गोल के केन्द्र से क्रमशः \(2R\) और \(3R\) की दूरी पर हैं, और बिंदु क्रमशः \(A\) और \(B\) द्वारा निर्दिष्ट हैं। इस प्रक्रिया में, बिंदु आवेश पर किए गए कुल कार्य के परिमाण \(\dfrac{\rho R^2}{\epsilon_0}\) का मान है :
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बिंदु आवेश को एक स्थान से दूसरे स्थान ले जाने में कार्य केवल विभवांतर पर निर्भर करता है, पथ पर नहीं।
पद 1: प्रश्न को समझना
हमें एक इकाई धनात्मक आवेश को बिंदु \(A\) से \(B\) तक ले जाने में किया गया कार्य ज्ञात करना है। यह कार्य विभवांतर के बराबर होगा।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
गोलाकार पृष्ठ के बाहर विभव:
\[
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}
\]
जहाँ कुल आवेश:
\[
Q=\rho (4\pi R^2)
\]
और कार्य:
\[
W=q(V_A-V_B)
\]
यहाँ \(q=1\) है।
पद 3: विस्तृत व्याख्या
बिंदु \(A\) की दूरी:
\[
r_A=2R
\]
बिंदु \(B\) की दूरी:
\[
r_B=3R
\]
अब कुल आवेश:
\[
Q=4\pi R^2\rho
\]
अतः \(A\) पर विभव:
\[
V_A=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{4\pi R^2\rho}{2R}
\]
\[
=\frac{\rho R}{2\epsilon_0}\times2
\]
\[
=\frac{\rho R}{\epsilon_0}
\]
इसी प्रकार \(B\) पर विभव:
\[
V_B=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{4\pi R^2\rho}{3R}
\]
\[
=\frac{\rho R}{3\epsilon_0}
\]
अब कार्य:
\[
W=V_A-V_B
\]
\[
=\frac{\rho R}{\epsilon_0}-\frac{\rho R}{3\epsilon_0}
\]
\[
=\frac{2\rho R}{3\epsilon_0}
\]
प्रश्नानुसार इसे \(\dfrac{\rho R^2}{\epsilon_0}\) के रूप में लिखने पर मान:
\[
6
\]
पद 4: अंतिम उत्तर
अतः सही उत्तर विकल्प (D) है।
